已知直线过点且与抛物线交于A、B两点,以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.(1)求抛物线的标准方程;(2)设是直线上任意一点,求证:直线QA、QM、QB的斜率依次

已知直线过点且与抛物线交于A、B两点,以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.(1)求抛物线的标准方程;(2)设是直线上任意一点,求证:直线QA、QM、QB的斜率依次

题型:不详难度:来源:
已知直线过点且与抛物线交于A、B两点,以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.

(1)求抛物线的标准方程;
(2)设是直线上任意一点,求证:直线QA、QM、QB的斜率依次成等差数列.
答案
(1)(2)详见解析.
解析

试题分析:(1)设直线方程为,代入
 ,,则有,而 ,

,得,所以抛物线方程为;
(2)由是直线上任意一点,可设 由(1)知 , ,
= , ∵==
== 
+=+= 
= = == =,有等差中项的性质可知直线QA、QP、QB的斜率依次成等差数列.
试题解析:(1)设直线方程为,代入
 ,,则有       2分 
 ,

,得,所以抛物线方程为  6分
说明:取过M 点的特殊位置的直线求得抛物线的方程给满分.
(2)设 由(1)知 , ,
= , ∵==
==              9分
+=+= 
= 
= == =     12分
所以直线QA、QP、QB的斜率依次成等差数列.               13分
举一反三
抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是( )
A.B.C.D.

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在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为为参数,).
(1)化曲线的极坐标方程为直角坐标方程;
(2)若直线经过点,求直线被曲线截得的线段的长.
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抛物线y=2x2的焦点坐标为(  ).
A.B.(1,0)C.D.

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抛物线y=8x2的焦点坐标是(  ).
A.(2,0)B.(0,2)C.D.

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已知抛物线C的方程为x2y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是(  ).
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.
C.∪(2,+∞)
D.

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