在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x,(1)设点A的坐标为,求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.(2)设点A的坐标为(a,0),a∈R,求曲线上

在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x,(1)设点A的坐标为,求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.(2)设点A的坐标为(a,0),a∈R,求曲线上

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在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x,
(1)设点A的坐标为,求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(2)设点A的坐标为(a,0),a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值dmin,并写出dmin=f(a)的函数表达式.
答案
(1)|PA|=      (2)dmin=f(a)=
解析
(1)设M(x,y)为曲线y2=2x上任意一点,
则|MA|2=+y2=x2+x+=+,
因为x∈[0,+∞),所以当x=0时,
|MA=+=,即|MA|min=.
所以距点A最近的点P坐标为(0,0),这时|PA|=.
(2)依题意得,
d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+2x
=x2-2(a-1)x+a2
=[x-(a-1)]2+(2a-1)
因为x∈[0,+∞),
所以分a-1≥0和a-1<0两种情况讨论.
当a≥1时,=2a-1,即dmin=,
当a<1时,=[0-(a-1)]2+(2a-1)=a2,
即dmin=|a|.
这时恰好抛物线顶点(0,0)与点A(a,0)最近.
所以dmin=f(a)=
举一反三
(2011•浙江)已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y﹣4)2=1的圆心为点M
(1)求点M到抛物线C1的准线的距离;
(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.

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设抛物线的焦点为为抛物线上一点,,则的取值范围是    .
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设抛物线的焦点为为抛物线上一点,且点的横坐标为2,则    .
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已知A、B为抛物线C:y2 = 4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切,P为l1、l2的交点.
(1)若直线AB过抛物线C的焦点F,求证:动点P在一条定直线上,并求此直线方程;
(2)设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点,求面积的最小值.
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经过抛物线的所有焦点弦中,弦长的最小值为(   )
A.pB.2pC.4pD.不确定

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