(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为F,过点F作直线与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与轴交于点C。(1)证明:;(2)求的最大值,并求取得最大值时线段AB

(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为F,过点F作直线与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与轴交于点C。(1)证明:;(2)求的最大值,并求取得最大值时线段AB

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为F,过点F作直线与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与轴交于点C。
(1)证明:
(2)求的最大值,并求取得最大值时线段AB的长。
答案
解:
(Ⅰ)由题设知,F(,0),C(-,0),
设A(x­1,y1),B(x2,y2),直线l方程为x=my+
代入抛物线方程y2=2px,得y2-2pmy-p2=0.
y1+y2=2pm,y1y2=-p2.                                    …4分
不妨设y1>0,y2<0,则∴tan∠ACF=tan∠BCF,所以∠ACF=∠BCF.                    …8分此时∠ACF取最大值,∠ACB=2∠ACF取最大值
并且A(,p),B(,-p),|AB|=2p.                     …12分
解析
本题以直线和抛物线的位置关系为背景考查角的证明以及最值问题,考查学生的计算能力和转化能力,第一问可通过直线和方程联立,借助韦达定理和计算角的正切值进行证明;第二问借助第一问的结论,借助均值不等式进行求解最值.
举一反三
设拋物线的焦点为F,点A在y轴上,若线段FA的中点B在拋物线上,且点B到拋物线准线的距离为,则点A的坐标为
A.(0,)B.(0,2)C.(0,)D.(0,4)

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已知抛物线的焦点F恰好是椭圆的左焦点,且两曲线的公共点的连线过F,则该椭圆的离心率为           
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抛物线有一内接直角三角形,直角的顶点在原点,一直角边的方程是,斜边长是,求此抛物线的方程。
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直线与抛物线相交于两点,为坐标原点,则=          .
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已知抛物线的焦点为F,以点为圆心,|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。
(I)求证:点A在以M、N为焦点,且过点F的椭圆上;
(II)设点P为MN的中点,是否存在这样的a,使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由。
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