过抛物线L：的焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，①求；②记坐标原点为O，求△OAB的重心G的轨迹方程.③点为抛物线L上一定点，M、N为抛物线上两个动点，且满

题型：不详难度：来源：

过抛物线L：

的焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，
①求

；
②记坐标原点为O，求△OAB的重心G的轨迹方程.
③点

为抛物线L上一定点，M、N为抛物线上两个动点，且满足

，当点M、N在抛物线上运动时，证明直线MN过定点。

答案

①

②

③证明见解析。

解析

①由F（1，0），设直线l的方程为

联立得

……2分
由

…………4分
②设

…………5分
由

……7分
化简得轨迹方程为

…………9分
③证明：由直线MN的方程不可能与x轴平行
可设直线MN的方程为

分别相减得

由

，
∴

即

（*式） …………11分
联立

有

，
所以

，代入直线MN的方程有

举一反三

抛物线4x = y²的准线方程为 .

题型：不详难度：| 查看答案

过抛物线y

＝4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是（）

A．y＝2x－1	B．y＝2x－2
C．y＝－2x＋1	D．y＝－2x＋2

题型：不详难度：| 查看答案

已知抛物线

与直线

相切于点

．
（Ⅰ）求

的解析式；
（Ⅱ）若对任意

，不等式

恒成立，求实数

的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是

，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.

题型：不详难度：| 查看答案

如图，设抛物线方程为x²=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，

，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线

上，其中，点C满足

（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

题型：不详难度：| 查看答案