在直角坐标平面内,y轴右侧的一动点P到点(12,0)的距离比它到y轴的距离大12.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)设Q为曲线C上的一个动点,点B,C在y轴上
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在直角坐标平面内,y轴右侧的一动点P到点(12,0)的距离比它到y轴的距离大12.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)设Q为曲线C上的一个动点,点B,C在y轴上
题型:怀化二模
难度:
来源:
在直角坐标平面内,y轴右侧的一动点P到点(
1
2
,0)的距离比它到y轴的距离大
1
2
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设Q为曲线C上的一个动点,点B,C在y轴上,若△QBC为圆(x-1)
2
+y
2
=1的外切三角形,求△QBC面积的最小值.
答案
(Ⅰ)由题知点P到
F(
1
2
,0)
的距离与它到直线
x=-
1
2
的距离相等,
所以点P的轨迹是抛物线,方程为y
2
=2x…(4分)
(Ⅱ)设Q(x
0
,y
0
),B(0,b),C(0,c),则
QB:y-b=
y
0
-b
x
0
x
即(y
0
-b)x-x
0
y+x
0
b=0
由直线QB是圆的切线知
|
y
0
-b+
x
0
b|
(
y
0
-b)
2
+
x
0
2
=1
,即
(
x
0
-2)
b
2
+2
y
0
b-
x
0
=0
同理∵
x
0
>0,(
x
0
-2)
c
2
+2
y
0
c-
x
0
=0
所以b,c是方程
(
x
0
-2)
t
2
+2
y
0
t-
x
0
=0
的两根
∴
b+c=-
2
y
0
x
0
-2
,bc=-
x
0
x
0
-2
…(8分)
∴
S
△QBC
=
1
2
|b-c|
x
0
=
1
2
4
y
0
2
(
x
0
-2)
2
+
4
x
0
x
0
-2
•
x
0
又
y
0
2
=2
x
0
,∴
S
△QBC
=
x
0
2
|
x
0
-2|
由题知x
0
>2,∴
S
△QBC
=
x
0
2
x
0
-2
令t=x
0
-2,则
S
△QBC
=
(t+2)
2
t
=
t+
4
t
+4
≥4+4=8,当t=2即x
0
=4时,取“=”
∴△QBC面积的最小值为8…(12分)
举一反三
已知点F为抛物线y
2
=-8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为( )
A.6
B.
2+4
2
C.
2
13
D.4+2
5
题型:不详
难度:
|
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点M到点F(0,-2)的距离比它到直线l:y-3=0的距离小1,则点M的轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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直线l过抛物线C:y
2
=2px(p>0)的焦点F,且交抛物线C于A,B两点,分别从A,B两点向抛物线的准线引垂线,垂足分别为A
1
,B
1
,则∠A
1
FB
1
是( )
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.直角或钝角
题型:不详
难度:
|
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已知平面α
∥
β,直线l⊂α,点P∈l,平面α、β间的距离为5,则在β内到点P的距离为13且到直线l的距离为
5
2
的点的轨迹是( )
A.一个圆
B.四个点
C.两条直线
D.双曲线的一支
题型:不详
难度:
|
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如图,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
棱长为1,P为侧面BB
1
C
1
C内的动点,且PA=2PB,则P点所形成轨迹图形的长度为( )
A.
2
B.
2
3
3
π
C.π
D.
3
6
π
题型:不详
难度:
|
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