如图为椭圆C:的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率,的面积为.若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭圆”,直线与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“
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如图为椭圆C:的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率,的面积为.若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭圆”,直线与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“
题型:不详
难度:
来源:
如图
为椭圆C:
的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率
,
的面积为
.若点
在椭圆C上,则点
称为点M的一个“椭圆”,直线
与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“椭圆”分别为P,Q.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)问是否存在过左焦点
的直线
,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
;(2)直线方程为
或
.
解析
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式,解方程组,得到基本量a和b的值,从而得到椭圆的方程;第二问,直线l过左焦点,所以讨论直线的斜率是否存在,当斜率不存在时,可以直接写出直线方程,令直线与椭圆联立,得到交点坐标,验证以PQ为直径的圆不过坐标原点,当斜率存在时,直线与椭圆联立,消参,利用韦达定理,证明
,解出k的值.
(1)由题意,
,即
,
,即
2分
又
得:
∴椭圆
的标准方程:
. 5分
(2)①当直线
的斜率不存在时,直线
的方程为
联立
,解得
或
,
不妨令
,
,所以对应的“椭点”坐标
,
.
而
所以此时以
为直径的圆不过坐标原点. 7分
②当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
消去
得,
设
,则这两点的“椭点”坐标分别为
由根与系数关系得:
9分
若使得以
为直径的圆过坐标原点,则
而
,∴
即
,即
代入
,解得:
所以直线方程为
或
. 12分
举一反三
是双曲线
的右支上一点,
、
分别是圆
和
上的点,则
的最大值等于
.
题型:不详
难度:
|
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已知
为双曲线
的左右焦点,点
在
上,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在平面直角坐标系
中,原点为
,抛物线
的方程为
,线段
是抛物线
的一条动弦.
(1)求抛物线
的准线方程和焦点坐标
;
(2)若
,求证:直线
恒过定点;
(3)当
时,设圆
,若存在且仅存在两条动弦
,满足直线
与圆
相切,求半径
的取值范围?
题型:不详
难度:
|
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设
分别是椭圆
的 左,右焦点。
(1)若P是该椭圆上一个动点,求
的 最大值和最小值。
(2)设过定点M(0,2)的 直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l斜率k的取值范围。
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
,
为坐标原点,椭圆的右准线与
轴的交点是
.
(1)点
在已知椭圆上,动点
满足
,求动点
的轨迹方程;
(2)过椭圆右焦点
的直线与椭圆交于点
,求
的面积的最大值
题型:不详
难度:
|
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