已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点是,又点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线的斜率为,若直线与椭圆交于、两点,求面积的最大值.

已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点是,又点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线的斜率为,若直线与椭圆交于、两点,求面积的最大值.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点是,又点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线的斜率为,若直线与椭圆交于两点,求面积的最大值.
答案
(1);(2)面积的最大值为.
解析

试题分析:(1)根据椭圆的焦点可设椭圆的方程,然后将代入可求解得,从而可确定椭圆的方程;(2)设直线的方程,联立直线与椭圆的方程,消去得到,先由确定的取值范围,然后根据二次方程根与系数的关系得到,从而由公式计算出,再由点到直线的距离公式计算出点的距离为,最后得到,利用基本不等式可得面积的最大值.
试题解析:(1)由已知椭圆的焦点为,故设椭圆方程为   2分
将点代入方程得,整理得   4分
解得(舍),故所求椭圆方程为    6分
(2)设直线的方程为,设    7分
代入椭圆方程并化简得    9分
,可得
    11分

又点的距离为        13分

当且仅当,即时取等号(满足①式)
所以面积的最大值为           15分.
举一反三
已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
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已知椭圆的离心率相等. 直线与曲线交于两点(的左侧),与曲线交于两点(的左侧),为坐标原点,
(1)当=时,求椭圆的方程;
(2)若,且相似,求的值.
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抛物线的方程为,过抛物线上一点()作斜率为的两条直线分别交抛物线两点(三点互不相同),且满足).
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线上一点,满足,证明线段的中点在轴上;
(3)当=1时,若点的坐标为,求为钝角时点的纵坐标的取值范围.
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如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,且经过点M(2,1),平行于OM的直线ly轴上的截距为m,直线l与椭圆相交于AB两个不同点.

(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:直线MAMBx轴围成的三角形是等腰三角形.
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已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,),且长轴长与短轴长的比是∶1.
 
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PAPB分别交椭圆C于另外两点AB,求证:直线AB的斜率为定值.
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