试题分析:(I)将点M(2,) ,N(,1)的坐标代入椭圆的方程即得一方程组:解这个方程组得,从而得椭圆E的方程为 (II)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 设该圆的切线方程为,联立方程组,利用韦达定理及找到k与m间的关系式,再利用直线与圆相切,看看能否求出这样的圆来,若能求出这样的圆,则说明存在,若不能求出这样的圆,则说明不存在 试题解析: (I)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点, 所以解得所以椭圆E的方程为 4分 (II)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即 , 则△=,即 , 7分 要使,需使,即, 所以,所以又,所以, 所以,即或, 9分 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,, 所求的圆为, 11分 此时圆的切线都满足或, 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足, 12分 综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 13分 |