已知椭圆C的中心在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线的焦点重合.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知经过定点M(2,0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两
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已知椭圆C的中心在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线的焦点重合.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知经过定点M(2,0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C的中心在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线
的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知经过定点M(2,0)且斜率不为0的直线
交椭圆C于A、B两点,试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
?若存在,求出
点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)
;(Ⅱ)
.
解析
试题分析:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为:
,先由已知条件“短轴长为
”,求得
,再由已知条件“有一个焦点与抛物线
的焦点重合”,求得
,则
,从而得到椭圆方程;(Ⅱ)设直线方程为:
,与椭圆方程联立方程组求得
(※),假设存在定点
使得
始终平分
,则有
,将对应点的坐标代入,结合直线方程以及(※)化简求得
,从而无论
如何取值,只要
就可保证式子成立,进而得出
点坐标.
试题解析:(Ⅰ)∵椭圆的短轴长为
,
∴
,解得
,
又抛物线
的焦点为
,
∴
,则
,
∴所求椭圆方程为:
.
(Ⅱ)设
:
,代入椭圆方程整理得:
则
,假设存在定点
使得
始终平分
,
则
①,
要使得①对于
恒成立,则
,
故存在定点
使得
始终平分
,它的坐标为
.
举一反三
设椭圆E:
=1(
)过点M(2,
), N(
,1),
为坐标原点
(I)求椭圆E的方程;
(II)是否存在以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由。
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
的方程为
,双曲线
的两条渐近线为
、
.过椭圆
的右焦点
作直线
,使
,又
与
交于点
,设
与椭圆
的两个交点由上至下依次为
、
.
(1)若
与
的夹角为
,且双曲线的焦距为
,求椭圆
的方程;
(2)求
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
的焦点为
,准线为
,点
为抛物线C上的一点,且
的外接圆圆心到准线的距离为
.
(I)求抛物线C的方程;
(II)若圆F的方程为
,过点P作圆F的2条切线分别交
轴于点
,求
面积的最小值时
的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线
的焦点为F,过F的直线交抛物线于M、N两点,其准线
与x轴交于K点.
(1)求证:KF平分∠MKN;
(2)O为坐标原点,直线MO、NO分别交准线于点P、Q,求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
的长轴为AB,过点B的直线
与
轴垂直,椭圆的离心率
,F为椭圆的左焦点,且
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)设P是此椭圆上异于A,B的任意一点,
轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线
于点
,
为
的中点,判定直线
与以
为直径的圆O位置关系。
题型:不详
难度:
|
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