已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=.(Ⅰ)求点S的坐标;(Ⅱ)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛
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已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=.(Ⅰ)求点S的坐标;(Ⅱ)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛
题型:不详
难度:
来源:
已知点F是抛物线C:
的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=
.
(Ⅰ)求点S的坐标;
(Ⅱ)以S为圆心的动圆与
轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交
轴于点E,若|EM|=
|NE|,求cos∠MSN的值.
答案
(Ⅰ)
;(Ⅱ)①详见解析,②
解析
试题分析:(1)由抛物线定义
等于点
到准线
的距离,可求点
的横坐标,代入抛物线方程求点
的纵坐标;(2)由已知直线
斜率互为相反数,可设其中一条
斜率为
,写出直线方程并与抛物线联立之得关于
的二次方程(其中有一根为1),或
的一元二次方程(其中有一根为1),再利用韦达定理并结合直线方程,求出点
的坐标,然后用
代替
得点
的坐标,代入斜率公式看是否定值即可;(3)依题意
,利用向量式得三点坐标间的关系,从而求
,进而可求直线
的方程,再确定
两点坐标,在
中利用余弦定理求
.
试题解析:(1)设
(
>0),由已知得F
,则|SF|=
,∴
=1,∴点S的坐标是(1,1);
(2)①设直线SA的方程为
由
得
∴
,∴
.
由已知SA=SB,∴直线SB的斜率为
,∴
∴
②设E(t,0),∵|EM|=
|NE|,∴
,
∴
,则
∴
∴直线SA的方程为
,则
,同理
,∴
举一反三
已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为
的椭圆过点
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O的直线
与该椭圆交于P,Q两点,满足直线
的斜率依次成等比数列,
求
面积的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
与双曲线
有共同的焦点
,
,椭圆的一个短轴端点为
,直线
与双曲线的一条渐近线平行,椭圆
与双曲线
的离心率分别为
,则
取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系
中,已知椭圆
经过点
,椭圆的离心率
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过点
作两直线与椭圆
分别交于相异两点
、
.若
的平分线与
轴平行, 试探究直线
的斜率是否为定值?若是, 请给予证明;若不是, 请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
:
的离心率为
,以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
:
,设圆
与椭圆
交于点
与点
.(12分)
(1)求椭圆
的方程;(3分)
(2)求
的最小值,并求此时圆
的方程;(4分)
(3)设点
是椭圆
上异于
,
的任意一点,且直线
分别与
轴交于点
,
为坐标原点,求证:
为定值.(5分)
题型:不详
难度:
|
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椭圆
内的一点
,过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在的直线方程( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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