试题分析:直线和圆锥曲线位置关系问题,一般要将直线方程和圆锥曲线方程联立,同时要注意其隐含条件(),得关于某一个未知数的一元二次方程,利用韦达定理建立参数的等量关系或者不等关系,从而确定参数的值或者取值范围,(1)由椭圆焦点在轴,先设椭圆标准方程为,由已知得关于 ,的方程组,解,;(2)注意条件“平行于的直线交椭圆与两点”,设直线方程为y=x+m,与椭圆联立,得关于的一元二次方程,,得的取值范围(注意);(3)只需证明斜率互为相反数先设,则,,结合韦达定理证明; 试题解析:(1)设椭圆方程为(a>b>0) 则 ∴椭圆方程; (2)∵直线∥DM且在y轴上的截距为m,∴y=x+m 由 ∵与椭圆交于A、B两点∴△=(2m)2-4(2m2-4)>0-2<m<2(m≠0); (3)设直线MA、MB斜率分别为k1,k2,则只要证:k1+k2=0 设A(x1,y1),B(x2,y2),则k1=,k2= 由x2+2mx+2m2-4=0得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4 而k1+k2=+=(*) 又y1=x1+m y2=x2+m ∴(*)分子=(x1+m-1)(x2-2)+(x2+m-1)(x1-2) =x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1) =2m2-4+(m-2)(-m)-4(m-1)=0 ∴k1+k2=0,证之. |