已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为,且经过点,直线交椭圆于不同的两点A,B.(1)求的取值范围;,(2)若直线不经过点,求证:直线的斜率互为相反数.

已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为,且经过点,直线交椭圆于不同的两点A,B.(1)求的取值范围;,(2)若直线不经过点,求证:直线的斜率互为相反数.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为,且经过点,直线交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求的取值范围;,
(2)若直线不经过点,求证:直线的斜率互为相反数.
答案
(1);(2)证明过程详见解析.
解析

试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、韦达定理等基础知识,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,用待定系数法,先设出椭圆方程,根据焦距和椭圆过,解出,得到椭圆方程,由于直线与椭圆有2个交点,所以联立得到的关于的方程有2个不相等实根,所以利用求解;第二问,分析题意得只需证明,设出点坐标,利用第一问得出的关于的方程找到,将化简,把的结果代入即可得证.
试题解析:(1)设椭圆的方程为,因为,所以
又因为椭圆过点,所以,解得,故椭圆方程为.   3分
代入并整理得
,解得.        6分
(2)设直线的斜率分别为,只要证明.
,则.       9分

分子


所以直线的斜率互为相反数.        12分
举一反三
已知是椭圆的右焦点,圆轴交于两点,是椭圆与圆的一个交点,且 
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)过点与圆相切的直线的另一交点为,且的面积为,求椭圆的方程
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已知点是抛物线上相异两点,且满足
(Ⅰ)若的中垂线经过点,求直线的方程;
(Ⅱ)若的中垂线交轴于点,求的面积的最大值及此时直线的方程.
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已知抛物线(p>0)的焦点F恰好是双曲线的右焦点,且两条曲线的交点的连线过F,则该双曲线的离心率为(     )  
A.B.2C.+1D.-1

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已知椭圆的左焦点为,右焦点为

(Ⅰ)设直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点P,线段的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹的方程;
(Ⅱ)设为坐标原点,取曲线上不同于的点,以为直径作圆与相交另外一点,求该圆的面积最小时点的坐标.
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已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为  (  )
A.B.C.D.

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