如图,已知抛物线的焦点为,过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于,两点,抛物线在、两点处的切线交于点.(Ⅰ)求证:,,三点的横坐标成等差数列;(Ⅱ)设直线交该抛物

如图,已知抛物线的焦点为,过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于,两点,抛物线在、两点处的切线交于点.(Ⅰ)求证:,,三点的横坐标成等差数列;(Ⅱ)设直线交该抛物

题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线的焦点为,过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于两点,抛物线在两点处的切线交于点.

(Ⅰ)求证:三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)设直线交该抛物线于两点,求四边形面积的最小值.
答案
(Ⅰ)可设直线的方程),,由消去,得. ,由,得,所以,直线的斜率为直线的方程为 同理,直线的方程为  M的横坐标三点的横坐标成等差数列(Ⅱ)32
解析

试题分析:(Ⅰ)由已知,得,显然直线的斜率存在且不为0,则可设直线的方程
),

消去,得
.          2分
,得,所以,直线的斜率为
所以,直线的方程为,又
所以,直线的方程为      ①         4分
同理,直线的方程为      ②          5分
②-①并据得点M的横坐标
三点的横坐标成等差数列          7分
(Ⅱ)由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)().
所以,则直线MF的方程为          8分
设C(x3,y3),D(x4,y4), 由消去,得
.             9分

               10分

         12分
因为,所以
所以,
当且仅当时,四边形面积的取到最小值         14分
点评:当直线与圆锥曲线相交时,常联立方程组转化为关于x的二次方程,进而利用方程的根与系数的关系设而不求的方法化简,在求解时弦长公式经常用到,本题中函数在某一点的切线问题要借助于导数的几何意义求出切线斜率
举一反三
双曲线的渐近线为
A.B.C.D.

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已知椭圆具有性质:若是椭圆为常数上关于原点对称的两点,点是椭圆上的任意一点,若直线的斜率都存在,并分别记为,那么之积是与点位置无关的定值
试对双曲线为常数写出类似的性质,并加以证明.
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已知双曲线的离心率,过双曲线的左焦点的两条切线,切点分别为的大小等于(    )
A.45°B.60°C.90°D.120°

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已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)动直线恒过点与抛物线交于AB两点,与轴交于C点,请你观察并判断:在线段MAMBMCAB中,哪三条线段的长总能构成等比数列?说明你的结论并给出证明.
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已知是抛物线的焦点,上的两个点,线段AB的中点为,则的面积等于              
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