已知直线过定点,动点满足,动点的轨迹为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)直线与交于两点,以为切点分别作的切线,两切线交于点.①求证:;②若直线与交于两点,求四边形面积的最
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已知直线过定点,动点满足,动点的轨迹为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)直线与交于两点,以为切点分别作的切线,两切线交于点.①求证:;②若直线与交于两点,求四边形面积的最
题型:不详
难度:
来源:
已知直线
过定点
,动点
满足
,动点
的轨迹为
.
(Ⅰ)求
的方程;
(Ⅱ)直线
与
交于
两点,以
为切点分别作
的切线,两切线交于点
.
①求证:
;②若直线
与
交于
两点,求四边形
面积的最大值.
答案
(1)
(2) 根据直线斜率互为负倒数来得到证明,当且仅当
时,四边形
面积的取到最小值
。
解析
试题分析:(I)由题意知
,设
化简得
3分
(Ⅱ)①设
,
,
由
消去
,得
,显然
.
所以
,
由
,得
,所以
,
所以,以
为切点的切线的斜率为
,
所以,以
为切点的切线方程为
,又
,
所以,以
为切点的切线方程为
……(1)
同理,以
为切点的切线方程为
……(2)
(2)-(1)并据
得点
的横坐标
,
代入(1)易得点
的纵坐标
,所以点
的坐标为
当
时,显然
当
时,
,从而
8分
②由已知,显然直线
的斜率不为0,由①知
,所以
,
则直线
的方程为
,
设设
,
,
由
消去
,得
,显然
,
所以
,
.
又
因为
,所以
,
所以,
,
当且仅当
时,四边形
面积的取到最小值
13分
点评:解决的关键是借助于向量的模来表示得到轨迹方程,并联立方程组来得到弦长公式,进而得到面积的表示,属于中档题。
举一反三
若点O和点F(﹣2, 0)分别是双曲线
的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则
的取值范围为
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知直线l:x=my+1过椭圆
的右焦点F,抛物线:
的焦点为椭圆C的上顶点,且直线l交椭圆C于A、B两点,点A、F、B在直线g:x=4上的射影依次为点D、K、E.(1)椭圆C的方程;(2)直线l交y轴于点M,且
,当m变化时,探求λ
1
+λ
2
的值是否为定值?若是,求出λ
1
+λ
2
的值,否则,说明理由;(3)接AE、BD,试证明当m变化时,直线AE与BD相交于定点
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知双曲线
的左右焦点为
,P为双曲线右支上
的任意一点,若
的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围是
。
题型:不详
难度:
|
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设点P是曲线C:
上的动点,点P到点(0,1)的距离和它到
焦点F的距离之和的最小值为
(1)求曲线C的方程
(2)若点P的横坐标为1,过P作斜率为
的直线交C与另一点Q,交x轴于点M,
过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN与曲线C
相切?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由。
题型:不详
难度:
|
查看答案
抛物线
的焦点为
,点
在此抛物线上,且
,弦
的中点
在该抛物线准线上的射影为
,则
的最大值为( )
A.
B.
C.1
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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