(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,定点,椭圆短轴的端点是,,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点且斜率不为的直线交椭圆于,两点.试问轴上是否存在定点,使平
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(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,定点,椭圆短轴的端点是,,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点且斜率不为的直线交椭圆于,两点.试问轴上是否存在定点,使平
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
已知椭圆
的离心率为
,定点
,椭圆短轴的端点是
,
,且
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设过点
且斜率不为
的直线交椭圆
于
,
两点.试问
轴上是否存在定点
,使
平分
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)
(2)
解析
试题分析:(Ⅰ)解:由
, 得
.
依题意△
是等腰直角三角形,从而
,故
.
所以椭圆
的方程是
.
(Ⅱ)解:设
,
,直线
的方程为
.
将直线
的方程与椭圆
的方程联立,
消去
得
.
所以
,
.
若
平分
,则直线
,
的倾斜角互补,
所以
.
设
,则有
.
将
,
代入上式,
整理得
,
所以
.
将
,
代入上式,
整理得
.
由于上式对任意实数
都成立,所以
.
综上,存在定点
,使
平分
.
点评:解决的关键是对于直线与椭圆的位置关系的联立方程组,设而不求的代数思想来解决解析几何的本质,属于基础题。
举一反三
如图,过抛物线y
2
="2px" (p
0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3.则此抛物线的方程为( )
A.y
2
=—
x
B.y
2
=9x
C.y
2
=
x
D. y
2
=3x
题型:不详
难度:
|
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北京奥运会主体育场“鸟巢”的简化钢结构俯视图如图所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,从外层椭圆顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD设内层椭圆方程为
+
=1(a
b
0),外层椭圆方程为
+
=1(a
b
0,m
1),AC与BD的斜率之积为-
,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的方程为
,点P的坐标为(-a,b).
(1)若直角坐标平面上的点M、A(0,-b),B(a,0)满足
,求点
的坐标;
(2)设直线
交椭圆
于
、
两点,交直线
于点
.若
,证明:
为
的中点;
(3)对于椭圆
上的点Q(a cosθ,b sinθ)(0<θ<π),如果椭圆
上存在不同的两个交点
、
满足
,写出求作点
、
的步骤,并求出使
、
存在的θ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的离心率为
,焦点到相应准线的距离为
(1)求椭圆C的方程
(2)设直线与椭圆C交于A、B两点,坐标原点到直线的距离为
,求
面积的最大值。
题型:不详
难度:
|
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方程
的曲线是( )
A.一个点
B.一条直线
C.两条直线
D.一个点和一条直线
题型:不详
难度:
|
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