（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.求椭圆的方程；若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.
求椭圆的方程；
若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点

（ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；
（ⅱ）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

答案

（1）见解析 （2）

解析

试题分析：⑴由题意得 ，所以，又，
消去可得，，解得或（舍去），则，
所以椭圆的方程为．
⑵（ⅰ）设，，则，，
因为三点共线，所以，所以，，8分
因为在椭圆上，所以，故为定值．10分
（ⅱ）直线的斜率为，直线的斜率为,
则直线的方程为，

==，
所以直线过定点． 
点评：本题考查转化的技巧，（1）将两斜率之积为定值的问题转化成了两根之积来求，（2）中将求两动点的连线过定点的问题转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性．