试题分析:(1)由M是椭圆短轴的一个端点,且满足=0,可得△F1F2M是一个以M为直角的等腰直角三角形,结合点N( 0,3 )到椭圆上的点的最远距离为5,求出a,b的值,可得椭圆的方程; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),将A,B两点代入椭圆方程,利用点差法,可得x0+2ky0=0,根据对称的性质,可得y0=﹣x0﹣,再结合Q点在椭圆内部,构造关于k的不等式,解不等式可得k的范围. (1)∵M是椭圆短轴的一个端点,且满足=0, 即△F1F2M是一个以M为直角的等腰直角三角形 故椭圆方程可表示为: 设H( x,y )是椭圆上的一点, 则|NH|2=x2+(y﹣3)2=﹣(y+3)2+2b2+18,其中﹣b≤y≤b 若0<b<3,则当y=﹣b时,|NH|2有最大值b2+6b+9, 所以由b2+6b+9=50解得b=﹣3±5(均舍去) 若b≥3,则当y=﹣3时,|NH|2有最大值2b2+18, 所以由2b2+18=50解得b2=16 ∴所求椭圆方程为 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),Q为AB的中点 ∴x0=,y0=, 则由两式相减得:x0+2ky0=0…① 又由直线PQ⊥l, ∴直线PQ的方程为y=﹣x﹣ 将Q(x0,y0)坐标代入得:y0=﹣x0﹣…② 由①②得Q(﹣k,) 而Q点在椭圆内部 ∴,即k2< 又∵k≠0 ∴k∈(﹣,0)∪(0,) 故当k∈(﹣,0)∪(0,)时,A、B两点关于过点P、Q的直线对称 点评:本题考查的知识点是直线与圆锥曲线,椭圆的标准方程,是高考的压轴题型,运算量大,综合性强,属于难题 |