(12分) 已知在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合。⑴ 写出该抛物线的标准方程和焦点F的坐标；⑵ 求线段BC的中点M的坐标；⑶ 求BC所在直线的方程。

题型：不详难度：来源：

(12分) 已知

在抛物线

上，

的重心与此抛物线的焦点F重合。
⑴ 写出该抛物线的标准方程和焦点F的坐标；
⑵ 求线段BC的中点M的坐标；
⑶ 求BC所在直线的方程。

答案

⑴方程为

，焦点F的坐标为

⑵

⑶

解析

试题分析：⑴ 由点

在抛物线

上，有

解得p =16，所以抛物线方程为

，焦点F的坐标为

。
⑵ 解法一：由于

是

的重心，设M是BC的中点，
所以

，即有

设点M的坐标为

，所以

解得

，所以点M的坐标为

解法二：

∵M是BC的中点，

⑶ ∵点

在抛物线上，

，又点

在直线BC上

…12分
点评：圆锥曲线的中点弦问题（直线与圆锥曲线相较于两点，涉及到弦的中点）采用点差法推理化简较容易，计算量小

举一反三

(13分) 如图，已知椭圆

的两个焦点分别为

，斜率为k的直线l过左焦点F₁且与椭圆的交点为A，B与y轴交点为C，又B为线段CF₁的中点，若

，求椭圆离心率e的取值范围。

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已知a,b为正常数，F₁，F₂是两个定点，且|F₁F₂|=2a（a是正常数），动点P满足|PF₁|+|PF₂|=a²+1，则动点P的轨迹是（）

A．椭圆

B．线段

C．椭圆或线段

D．直线

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已知F₁，F₂为椭圆

的两个焦点，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，若|F₂A|+|F₂B|=12，则|AB|= 。

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（14分）如图，已知抛物线C₁： y=x², 与圆C₂： x²+(y+1)²="1," 过y轴上一点A（0, a）（a>0）作圆C₂的切线AD，切点为D（x₀, y₀）.

（1）证明：(a+1)(y₀+1)=1
（2）若切线AD交抛物线C₁于E，且E为AD的中点，求点A纵坐标a.

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设抛物线的顶点在原点，准线方程为

，则抛物线方程是（）

A．，	B．
C．	D．

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