已知双曲线C  2x2-y2=2与点P(1,2)(1)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点 (2)若Q(1,1)

已知双曲线C  2x2-y2=2与点P(1,2)(1)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点 (2)若Q(1,1)

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已知双曲线C  2x2y2=2与点P(1,2)

(1)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围,使lC分别有一个交点,两个交点,没有交点 
(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在
答案
(1) 当k,或k=,或k不存在时,lC只有一个交点;当k,或-k,或k<-时,lC有两个交点;当k时,lC没有交点
(2)不存在
解析

【错解分析】第一问,求二次方程根的个数,忽略了二次项系数的讨论 第二问,算得以Q为中点弦的斜率为2,就认为所求直线存在了 
【正解】(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点 当l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得
(2-k2)x2+2(k2-2k)xk2+4k-6=0  (*)
(ⅰ)当2-k2=0,即k时,方程(*)有一个根,lC有一个交点
(ⅱ)当2-k2≠0,即k≠±Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)
①当Δ=0,即3-2k=0,k=时,方程(*)有一个实根,lC有一个交点 
②当Δ>0,即k,又k≠±,故当k<-或-kk时,方程
(*)有两不等实根,lC有两个交点 
③当Δ<0,即k时,方程(*)无解,lC无交点 
综上知 当k,或k=,或k不存在时,lC只有一个交点;当k,或-k,或k<-时,lC有两个交点;当k时,lC没有交点 
(2)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得  2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1x2)=y1y1kAB==2但渐近线斜率为±,结合图形知直线ABC无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在
举一反三
如图:在面积为1的DPMN中,tanÐPMN=,tanÐMNP=-2,试建立适当的坐标系,求以MN为焦点且过点P的椭圆方程。
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如图,已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列(1)求该弦椭圆的方程;(2)求弦AC中点的横坐标;(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围 
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已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为 .抛物线过B,D两点
(1)若正方形中心M为(2,2)时,求点N(b,c)的轨迹方程。
(2)求证方程的两实根满足
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是曲线上的点,,则(   )
A.B.
C.D.

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双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,则半焦距的取值范围是        (答案用区间表示)
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