已知曲线所围成的封闭图形的面积为,曲线的内切圆半径为.记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)设是过椭圆中心的任意弦,是线段的垂直平
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已知曲线所围成的封闭图形的面积为,曲线的内切圆半径为.记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)设是过椭圆中心的任意弦,是线段的垂直平
题型:不详
难度:
来源:
已知曲线
所围成的封闭图形的面积为
,曲线
的内切圆半径为
.记
为以曲线
与坐标轴的交点为顶点的椭圆.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)设
是过椭圆
中心的任意弦,
是线段
的垂直平分线.
是
上异于椭圆中心的点.
(i)若
(
为坐标原点),当点
在椭圆
上运动时,求点
的轨迹方程;
(ii)若
是
与椭圆
的交点,求
的面积的最小值.
答案
(1)
;(2) (i)
,(ii)
解析
试题分析:(1)由题意得
又
,解得
,
.因此所求椭圆的标准方程为
. ……4分
(2)(i)假设
所在的直线斜率存在且不为零,设
所在直线方程为
,
.解方程组
得
,
,
所以
. ……6分
设
,由题意知
,所以
,即
,因为
是
的垂直平分线,所以直线
的方程为
,即
,因此
, ……8分
又
,所以
,故
.
又当
或不存在时,上式仍然成立.
综上所述,
的轨迹方程为
. ……10分
(ii)当
存在且
时,由(1)得
,
,
由
解得
,
,
所以
,
,
. ……12分
由于
,当且仅当
时等号成立,即
时等号成立,此时
面积的最小值是
.……14分
当
,
.当
不存在时,
.综上所述,
的面积的最小值为
.……16分
解法二:
因为
,
又
,
,
当且仅当
时等号成立,即
时等号成立,
此时
面积的最小值是
.
当
,
.
当
不存在时,
.
综上所述,
的面积的最小值为
.
点评:对于直线与圆锥曲线的综合问题,往往要联立方程,同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解;而对于最值问题,则可将该表达式用直线斜率k表示,然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式.
举一反三
双曲线
的焦距为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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设双曲线x
2
-y
2
=1的两条渐近线与直线x=
围成的三角形区域(包含边界)为E,P(x,y)为该区域的一个动点,则目标函数z=x-2y的最小值为________.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C关于
轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点
(1)求抛物线C的标准方程
(2)直线
过抛物线的焦点F,与抛物线交于A、B两点,线段AB的中点M的横坐标为3,求弦长
以及直线
的方程。
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知点
是椭圆
的右顶点,若点
在椭圆上,且满足
.(其中
为坐标原点)
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线
与椭圆交于两点
,当
时,求
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的左、右焦点为
、
,直线x=m过
且与椭圆相交于A,B两点,则
的面积等于
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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