(本题满分13分) 如图,是离心率为的椭圆,:()的左、右焦点,直线:将线段分成两段,其长度之比为1 : 3.设是上的两个动点,线段的中点在直线上,线段的中垂线
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(本题满分13分) 如图,是离心率为的椭圆,:()的左、右焦点,直线:将线段分成两段,其长度之比为1 : 3.设是上的两个动点,线段的中点在直线上,线段的中垂线
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分13分) 如图,
是离心率为
的椭圆,
:
(
)的左、右焦点,直线
:
将线段
分成两段,其长度之比为1 : 3.设
是
上的两个动点,线段
的中点
在直线
上,线段
的中垂线与
交于
两点.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 是否存在点
,使以
为直径的圆经过点
,若存在,求出
点坐标,若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)存在两点
符合条件,坐标为
,理由见解析
解析
试题分析:(Ⅰ) 设
,则
=
,所以
=1.
因为离心率e=
,所以
=
.
所以椭圆C的方程为
. ……5分
(Ⅱ) 当直线
垂直于
轴时,直线
方程为
=-
,
此时
(
,0)、
(
,0) ,
.不合题意; ……7分
当直线
不垂直于
轴时,设存在点
(-
,
) (
≠0),直线
的斜率为
,
.
由
得
=0,则
,
故
.此时,直线
斜率为
,
的直线方程为
.
即
.
联立
消去
,整理得
.
所以
,
. ……10分
由题意
0,于是
=0.
因为
在椭圆内,
符合条件;
综上,存在两点
符合条件,坐标为
. ……13分
点评:设直线方程时,要考虑到直线方程斜率是否存在;对于探究性问题,可以先假设存在,再进行计算,如果能求出来,就说明存在,如果求不出来或者得出矛盾,则说明不存在.
举一反三
(本小题满分12分)已知椭圆
,离心率为
的椭圆经过点
.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线
分别与椭圆交于
和
,是否存在常数
,使得
?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线y
2
= 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线
与抛物线有公共点,则直线
的斜率的取值范围是( )
A.[-
,
]
B.[-2 , 2 ]
C.[-1 , 1 ]
D.[-4 , 4 ]
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)双曲线C与椭圆
有相同的焦点,直线y=
为
的一条渐近线.
(Ⅰ)求双曲线
的方程;
(Ⅱ)过点
(0,4)的直线
,交双曲线
于A,B两点,交x轴于
点(
点与
的顶点不重合)。当
=
,且
时,求
点的坐标
题型:不详
难度:
|
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直线
与抛物线
交于
、
两点,若
,则弦
的中点到直线
的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)已知椭圆
的中心在原点
,焦点
,
在
轴上,经过点
,
,且抛物线
的焦点为
.
(1) 求椭圆
的方程;
(2) 垂直于
的直线
与椭圆
交于
,
两点,当以
为直径的圆
与
轴相切时,求直线
的方程和圆
的方程.
题型:不详
难度:
|
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