(本题满分13分) 如图,是离心率为的椭圆,:()的左、右焦点,直线:将线段分成两段,其长度之比为1 : 3.设是上的两个动点,线段的中点在直线上,线段的中垂线

(本题满分13分) 如图,是离心率为的椭圆,:()的左、右焦点,直线:将线段分成两段,其长度之比为1 : 3.设是上的两个动点,线段的中点在直线上,线段的中垂线

题型:不详难度:来源:
(本题满分13分) 如图,是离心率为的椭圆,
()的左、右焦点,直线将线段分成两段,其长度之比为1 : 3.设上的两个动点,线段的中点在直线上,线段的中垂线与交于两点.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 是否存在点,使以为直径的圆经过点,若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)  (Ⅱ)存在两点符合条件,坐标为,理由见解析
解析

试题分析:(Ⅰ) 设,则,所以=1.
因为离心率e=,所以
所以椭圆C的方程为.                                                      ……5分
(Ⅱ) 当直线垂直于轴时,直线方程为=-
此时(,0)、(,0) ,.不合题意;                           ……7分
当直线不垂直于轴时,设存在点(-) (≠0),直线的斜率为

 得=0,则
.此时,直线斜率为的直线方程为

联立 消去,整理得
所以.                                           ……10分
由题意0,于是

                      =0.

因为在椭圆内,符合条件;
综上,存在两点符合条件,坐标为.                               ……13分
点评:设直线方程时,要考虑到直线方程斜率是否存在;对于探究性问题,可以先假设存在,再进行计算,如果能求出来,就说明存在,如果求不出来或者得出矛盾,则说明不存在.
举一反三
(本小题满分12分)已知椭圆,离心率为的椭圆经过点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于,是否存在常数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
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设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是(   )
A.[-,]B.[-2 , 2 ]C.[-1 , 1 ]D.[-4 , 4 ]

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(本小题满分12分)双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=的一条渐近线.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)过点(0,4)的直线,交双曲线于A,B两点,交x轴于点(点与的顶点不重合)。当 =,且时,求点的坐标
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直线与抛物线交于两点,若,则弦的中点到直线的距离等于(   )
A.B.C.D.

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(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点,焦点轴上,经过点,且抛物线的焦点为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 垂直于的直线与椭圆交于,两点,当以为直径的圆轴相切时,求直线的方程和圆的方程.
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