给定椭圆：  ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）过点P作直

题型：不详难度：来源：

给定椭圆：  ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．
（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）过点P作直线,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．求出的值．

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析

（1）中据椭圆定义及伴椭圆定义容易求出方程；
（2）线与椭圆只有一个交点即直线与椭圆相切，，
截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，利用直线与圆弦心距，点到直线距离公式，表示出弦长
解：（Ⅰ）由题意得：得，半焦距．．．．2分
则椭圆的方程为 “伴随圆”的方程为
（Ⅱ）设过点，且与椭圆有一个交点的直线为，
则　　整理得．．．．．．．．．2分
所以，解 ①．．．．．．．．4分
又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，
则有  化简得   ② ．．．．6分
联立①②解得，，所以