已知常数,在矩形中,,,为的中点.点分别在上移动,且,为与的交点(如图).问是否存在两个定点,使点到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若

已知常数,在矩形中,,,为的中点.点分别在上移动,且,为与的交点(如图).问是否存在两个定点,使点到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若

题型:不详难度:来源:
已知常数,在矩形中,的中点.点分别在上移动,且的交点(如图).问是否存在两个定点,使点到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
答案
时,点的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.
时,点的轨迹为椭圆的一部分,点到该椭圆焦点的距离和定为定值.
时,点到椭圆两个焦点的距离之和为定值
时,点到椭圆两个焦点的距离之和为定值
解析
根据题设条件,首先求出点坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点到两定点距离的和为定值.按题意有

因此有
直线的方程为,       ①
直线的方程为.      ②
从①②消去参数,得点坐标满足方程
整理得
时,点的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.
时,点的轨迹为椭圆的一部分,点到该椭圆焦点的距离和定为定值.
时,点到椭圆两个焦点的距离之和为定值
时,点到椭圆两个焦点的距离之和为定值
举一反三
已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点,共线.设为椭圆上任意一点,且,证明为定值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,右准线的方程为,倾斜角为的直线交椭圆两点,且的中点坐标为,求椭圆的方程;
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,右准线的方程为,倾斜角为的直线交椭圆两点,且的中点坐标为,设为椭圆的右顶点,为椭圆上两点,且三者的平方成等差数列,则直线斜率之积的绝对值是否为定值,若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
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抛物线上点到定点和焦点的距离之和的最小值为,求此抛物线的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
抛物线的顶点在原点,以轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为的直线,被抛物线所截得的弦长为,试求抛物线方程.
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