如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
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如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,已知
P
(4,0)是圆
x
2
+
y
2
=36内的一点,
A
、
B
是圆上两动点,且满足∠
APB
=90°,求矩形
APBQ
的顶点
Q
的轨迹方程.
答案
所求的轨迹方程是
x
2
+
y
2
=5
解析
设
AB
的中点为
R
,坐标为(
x
,
y
),则在Rt△
ABP
中,|
AR
|=|
PR
|
又因为R是弦
AB
的中点,依垂径定理:在Rt△
OAR
中,|
AR
|
2
=|
AO
|
2
-|
OR
|
2
=36-(
x
2
+
y
2
)
又|
AR
|=|
PR
|=
所以有(
x
-4)
2
+
y
2
=36-(
x
2
+
y
2
),即
x
2
+
y
2
-4
x
-10=0
因此点
R
在一个圆上,而当
R
在此圆上运动时,
Q
点即在所求的轨迹上运动.
设
Q
(
x
,
y
),
R
(
x
1
,
y
1
),因为
R
是
PQ
的中点,所以
x
1
=
,
代入方程
x
2
+
y
2
-4
x
-10=0,得
-10=0
整理得:
x
2
+
y
2
=56,这就是所求的轨迹方程.
举一反三
若椭圆
=1(
a
>
b
>0)与直线
l
:
x
+
y
=1在第一象限内有两个不同的交点,求
a
、
b
所满足的条件,并画出点
P
(
a
,
b
)的存在区域.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)已知点M在X轴上,点N在Y轴上,且
,点P为线段MN的中点。
(1) 求点P的轨迹方程。
(2)若直线
与上述轨迹交于A.B两点,且
,求:
的值。
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)中心在原点的椭圆与抛物线
有一个公共焦点,且其离心率是双曲线
的离心率的倒数,
(1)求椭圆方程。(2)若(1,
)是直线
被椭圆截得的线段的中点,求直线
的方程。
题型:不详
难度:
|
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(12分)已知AB是椭圆
的一条弦,M(2,1)是AB的中点,以M为焦点且以椭圆E
1
的右准线为相应准线的双曲线E
2
与直线AB交于点
. (1)设双曲线E
2
的离心率为
,求
关于
的函数表达式; (2)当椭圆E
1
与双曲线E
2
的离心率互为倒数时,求椭圆E
1
的方程.
题型:不详
难度:
|
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(12分)直角梯形ABCD中, ∠DAB=90°,AD//BC,
AB="2," AD=
, BC=
,椭圆E以A,B为焦点且经过点D. (1)建立适当的直角坐标系,求椭圆E的方程; (2)若点Q满足:
,问是否存在不平行AB,的直线
与椭圆E交于M、N两点.且|MQ|=|NQ|.若存在,求直线
的斜率
的取值范围,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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