如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DA⊥AB,AD=3,AB=4,BC=3,点E在线段AB的延长线上.若曲线段DE(含两端点)为某曲线L上的一部分,且曲线

如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DA⊥AB,AD=3,AB=4,BC=3,点E在线段AB的延长线上.若曲线段DE(含两端点)为某曲线L上的一部分,且曲线

题型:不详难度:来源:
如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,DA⊥AB,AD=3,AB=4,BC=


3
,点E在线段AB的延长线上.若曲线段DE(含两端点)为某曲线L上的一部分,且曲线L上任一点到A、B两点的距离之和都相等.
(1)建立恰当的直角坐标系,求曲线L的方程;
(2)根据曲线L的方程写出曲线段DE(含两端点)的方程;
(3)若点M为曲线段DE(含两端点)上的任一点,试求|MC|+|MA|的最小值,并求出取得最小值时点M的坐标.
答案
解(1)如图,以AB所在的直线为x轴,其垂直平分线为y轴,建立所示的直角坐标系,
A(-2,0),B(2,0),C(2,


3
),D(-2,3)
,|DA|=3,|DB|=5.
设动点M(x,y)为曲线L上的任一点,
则|MA|+|MB|=|DA|+|DB|=8,


(x+2)2+y2
+


(x-2)2+y2
=8

整理得
x2
16
+
y2
12
=1
,为所求曲线L的方程
(2)由题意知xD<x<xE,y≥0,
而xD=xA=-2,xE=4
则所求曲线段DE的方程为
x2
16
+
y2
12
=1(-2≤x≤4,y≥0)

(3)由椭圆的定义及点M为曲线段DE(含两端点)上的任一点可知|MA|+|MB|=2a=8,即|MA|=8-|MB|,
则|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2


3

当且仅当点M位于线段BC的交点处时等号成立,
由BC⊥AB知此时点M的横坐标为2,则其纵坐标为3,
即当点M的坐标为(2,3)时|MC|+|MA|有最小值8-2


3
举一反三
点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且


PA
=


AB
,则称点P为“λ点”,那么直线l上有______个“λ点”.
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设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q,且


AP
=
8
5


PQ

(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:x+


3
y+3=0相切,求椭圆C的方程.
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已知点A(1,0),定直线l:x=-1,B为l上的一个动点,过B作直线m⊥l,连接AB,作线段AB的垂直平分线n,交直线m于点M.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点N(4,0)作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P,Q,求证OP⊥OQ(O为坐标原点).
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如图,椭圆的两顶点为A(


2
,0)
,B(0,1),该椭圆的左右焦点分别是F1,F2
(1)在线段AB上是否存在点C,使得CF1⊥CF2?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)设过F1的直线交椭圆于P,Q两点,求△PQF2面积的最大值.
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已知抛物线C的方程为x2=4y,直线y=2与抛物线C相交于M,N两点,点A,B在抛物线C上.
(Ⅰ)若∠BMN=∠AMN,求证:直线AB的斜率为


2

(Ⅱ)若直线AB的斜率为


2
,求证点N到直线MA,MB的距离相等.
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