(1)方法一:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 则点A(-2,0),B(2,0),P(,1). 设双曲线实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c, 则2a=|PA|-|PB|=-=2,2c=|AB|=4. 所以a=,c=2,从而b2=c2-a2=2. 故双曲线C的方程是-=1…(6分) 方法二:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 则点A(-2,0),B(2,0),P(,1). 设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0), 则, 解得a2=b2=2,故双曲线C的方程是-=1.…(6分) (2)据题意可设直线l的方程为y=kx+2, 代入双曲线C的方程得,x2-(kx+2)2=2,即(1-k2)x2-4kx-6=0. 因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F, 则 | 1-k2≠0 | △=(-4k)2+4×6(1-k2)>0 |
| | ,即, 设点E(x1,y1),F(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=-. 所以|EF|== =•=•. 又原点O到直线l的距离d=.(11分) 所以S△DEF=d•|EF|=•••=. 因为S△OEF≥2,则≥2⇔k4-k2-2≤0, 解得-≤k≤. 综上分析,直线l的斜率的取值范围是[-,-1)∪(-1,1)∪(1,]…(14分) |