在平面直角坐标系xOy中,点P(0,-1),点A在x轴上,点B在y轴非负半轴上,点M满足:AM=2AB,PA•AM=0(Ⅰ)当点A在x轴上移动时,求动点M的轨迹
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在平面直角坐标系xOy中,点P(0,-1),点A在x轴上,点B在y轴非负半轴上,点M满足:AM=2AB,PA•AM=0(Ⅰ)当点A在x轴上移动时,求动点M的轨迹
题型:许昌县一模
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,点P(0,-1),点A在x轴上,点B在y轴非负半轴上,点M满足:
AM
=2
AB
,
PA
•
AM
=0
(Ⅰ)当点A在x轴上移动时,求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设Q为曲线C上一点,直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直,l与C的另一个交点为R,若以线段QR为直径的圆经巡原点,求直线l的方程.
答案
(Ⅰ)设A坐标是(a,0),M坐标是(x,y),B(0,b),则
AM
=(x-a,y),
AB
=(-a,b),
PA
=(a,1)
∵
AM
=2
AB
,∴有(x-a,y)=2(-a,b),即有x-a=-2a,y=2b,即x=-a,y=2b
∵
PA
•
AM
=0,∴有a(x-a)+y=0
∴-x(x+x)+y=0,∴-2x
2
+y=0
即C的方程是y=2x
2
;
(Ⅱ)设Q(m,2m
2
),直线l的斜率为k,则y′=4x,∴k=-
1
4m
∴直线l的方程为y-2m
2
=-
1
4m
(x-m)
与y=2x
2
联立,消去y可得2x
2
+
1
4m
x-2m
2
-
1
4
=0,该方程必有两根m与x
R
,且mx
R
=-m
2
-
1
8
∴(2m
2
)y
R
=4(-m
2
-
1
8
)
2
∵
OQ
⊥
OR
,∴mx
R
+(2m
2
)y
R
=0,∴-m
2
-
1
8
+4(-m
2
-
1
8
)
2
=0,∴m=±
2
4
∴直线l的方程为
y=±
2
2
x+
1
2
.
举一反三
已知曲线C的极坐标方程为
ρ
2
=
36
4
cos
2
θ+9
sin
2
θ
;
(1)若以极点为原点,极轴所在的直线为x轴,求曲线C的直角坐标方程;
(2)若P(x,y)是曲线C上的一个动点,求该点到直线2x+4y-5=0距离的最大值.
题型:不详
难度:
|
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双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
离心率为2,有一个焦点与抛物线y
2
=4x的焦点重合,则双曲线的渐进线方程为( )
A.y=
±
1
2
x
B.y=±2x
C.y=
±
3
3
x
D.y=
±
3
x
题型:福建模拟
难度:
|
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已知a>b>0,e
1
,e
2
分别是圆锥曲线
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
和
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的离心率,设m=lne
1
+lne
2
,则m的取值范围是 ______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:
y
2
=4x,过点(1,0)且斜率为
3
直线交抛物线C于M、N,则|MN|=( )
A.
14
3
B.5
C.
16
3
D.6
题型:不详
难度:
|
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斜率为1的直线与椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
相交于A,B两点,AB的中点M(m,1),则m=______.
题型:奉贤区一模
难度:
|
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