已知椭圆C与椭圆C1:x29+y25=1有相同的焦点,且椭圆过点(23,3),右焦点为F,(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=12x与椭圆C交于M、N两点,求
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已知椭圆C与椭圆C1:x29+y25=1有相同的焦点,且椭圆过点(23,3),右焦点为F,(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=12x与椭圆C交于M、N两点,求
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C与椭圆C
1
:
x
2
9
+
y
2
5
=1
有相同的焦点,且椭圆过点
(2
3
,
3
)
,右焦点为F,
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线
y=
1
2
x
与椭圆C交于M、N两点,求△FMN的面积.
答案
(1)∵椭圆C
1
:
x
2
9
+
y
2
5
=1的焦点坐标为(±2,0),
∴依题意设椭圆C的方程为
x
2
a
2
+
y
2
a
2
-4
=1,将点(2
3
,
3
)的坐标代入椭圆C的方程,
得
(2
3
)
2
a
2
+
(
3
)
2
a
2
-4
=1,解得a
2
=16或a
2
=3(舍),
∴椭圆C的方程为:
x
2
16
+
y
2
12
=1.
(2)由
x
2
16
+
y
2
12
=1
y=
1
2
x
消去y得:x
2
=12,
∴x=±2
3
,y=±
3
.
不妨取M(2
3
,
3
),N(-2
3
,-
3
),
∴|MN|=
[
3
-(-
3
)]
2
+[2
3
-(-2
3
)]
2
=
12+48
=
60
=2
15
.
又右焦点F(2,0)到直线y=
1
2
x即x-2y=0的距离d=
2
5
=
2
5
5
,
∴S
△FMN
=
1
2
|MN|•d=
1
2
×2
15
×
2
5
5
=2
3
.
举一反三
已知直线l:x+y=1与椭圆
C:
x=2cosθ
y=sinθ
(θ为参数),若直线l与椭圆交于A,B两点,求线段AB的长度.
题型:不详
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|
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点P是抛物线y
2
=4x上一动点,点P到直线x=-1的距离是4,则P到抛物线y
2
=4x的焦点的距离是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
题型:不详
难度:
|
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若倾斜角为
π
4
的直线l通过抛物线y
2
=4x的焦点且与抛物线相交于M、N两点,则线段MN的长为( )
A.
13
B.8
C.16
D.
8
2
题型:不详
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|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的右准线l
2
与一条渐近线l交于点P,F是双曲线的右焦点.
(Ⅰ)求证:PF⊥l;
(Ⅱ)若
|PF|=
2
,且双曲线的离心率
e=
3
,求该双曲线的方程;
(Ⅲ)若过点A(2,1)的直线与(Ⅱ)中的双曲线交于两点P
1
,P
2
,求线段P
1
P
2
的中点M的轨迹方程.
题型:不详
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|
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已知曲线C的极坐标方程是ρ
2
(1+3sin
2
θ)=4,直线l的参数方程是
x=6-
2
5
5
t
y=
5
5
t
(t为参数).
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;
(2)设点M为曲线C上任一点,求M到直线l的距离的最大值.
题型:不详
难度:
|
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