已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆焦点坐标;(2)若点P是椭圆
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆焦点坐标;(2)若点P是椭圆
题型:济南一模
难度:
来源:
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆焦点坐标;
(2)若点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,记直线PM,PN的斜率分别为k
PM
,k
PN
,当
k
PM
•
k
PN
=-
1
4
时,求椭圆的方程.
答案
(1)由
b=
2
1+1
得b=
2
…(2分)
又因为2a=4,
所以a=2,又a
2
=4,b
2
=2…(4分)
所以c
2
=a
2
-b
2
=2,
∴
两个焦点坐标为(
2
,0),(-
2
,0)
…(6分)
(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N交于坐标原点对称
不妨设:M(x
0
,y
0
),N(-x
0
,-y
0
),P(x,y)
因为M,N,P在椭圆上,
所以它们满足椭圆方程,即有
x
20
a
2
+
y
20
b
2
=1,
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
两式相减得:
y
2
-
y
20
x
2
-
x
20
=-
b
2
a
2
.…(8分)
由题意它们的斜率存在,则
k
PM
=
y-
y
0
x-
x
0
,
k
PN
=
y+
y
0
x+
x
0
…(10分)
k
PM
•
k
PN
=
y-
y
0
x-
x
0
•
y+
y
0
x+
x
0
=
y
2
-
y
20
x
2
-
x
20
=-
b
2
a
2
则-
b
2
a
2
=-
1
4
,由a=2得b=1
故所求椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
…(12分)
举一反三
已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的离心率为2,它的一个焦点与抛物线y
2
=8x的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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直线y=kx-2与抛物线y
2
=8x交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,则k的值为______.
题型:不详
难度:
|
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动点P到两定点A(a,0),B(-a,0)连线的斜率的乘积为k,试求点P的轨迹方程,并讨论轨迹是什么曲线?
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
x
2
=______.
题型:不详
难度:
|
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抛物线y
2
=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧,F为抛物线的焦点,并且|FA|=2,|FB|=5,在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求这个最大面积.
题型:不详
难度:
|
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