已知两点F1(-2,0)、F2(2,0),曲线C上的动点P(x,y)满足.PF1•.PF2+|.PF1|×|.PF2|=2.(I)求曲线C的方程;(II)设直线
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已知两点F1(-2,0)、F2(2,0),曲线C上的动点P(x,y)满足.PF1•.PF2+|.PF1|×|.PF2|=2.(I)求曲线C的方程;(II)设直线
题型:不详
难度:
来源:
已知两点
F
1
(-
2
,0)
、
F
2
(
2
,0)
,曲线C上的动点P(x,y)满足
.
P
F
1
•
.
P
F
2
+|
.
P
F
1
|×|
.
P
F
2
|=2.
(I)求曲线C的方程;
(II)设直线l:y=kx+m(k≠0),对定点A(0,-1),是否存在实数m,使直线l与曲线C有两个不同的交点M、N,满足|AM|=|AN|?若存在,求出m的范围;若不存在,请说明理由.
答案
(I)∵
F
1
(-
2
,0)
,
F
2
(
2
,0)
,P(x,y)
∴
.
P
F
1
=(-
2
-x,-y).
.
P
F
2
=(
2
-x,-y)
∵曲线C上的动点P(x,y)满足
.
P
F
1
•
.
P
F
2
+|
.
P
F
1
||
.
P
F
2
|=2
∴
x
2
-2+
y
2
+
(-
2
-x
)
2
+
y
2
•
(
2
-x
)
2
+
y
2
=2
化简可得
x
2
3
+
y
2
=1
∴所求曲线的方程为
x
2
3
+
y
2
=1
;
(II)法一:设M(
x
1,
y
1
),N(x
2
,y
2
),线段MN的中点为P(x
0
,y
0
),
联立方程组得,
y=kx+m
x
2
3
+
y
2
=1
,∴(3k
2
+1)x
2
+6mkx+3m
2
-3=0
由直线与椭圆有两个交点,得m
2
<3k
2
+1,①
且
x
0
=-
3km
1+3
k
2
,
y
0
=k
x
0
+m=
m
1+3
k
2
,
又k
AP
•k=-1,∴
y
0
+1
x
0
=-
1
k
,即
m=
1+3
k
2
2
,②
①②联立,可得
m∈(
1
2
,2)
.
法二:点差得
k=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=-
x
0
3
y
0
,又k
AP
•k=-1⇒
y
0
+1
x
0
=-
1
k
,故
x
0
=-
3
2
k,
y
0
=
1
2
.
点P(x
0
,y
0
)在椭圆内,得k
2
∈(0,1),
m=
y
0
-k
x
0
=
1
2
+
3
2
k
2
∈(
1
2
,2)
举一反三
已知抛物线C:y
2
=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B.
(Ⅰ) 若
|AB|=
16
3
,求直线l的方程.
(Ⅱ) 求|AB|的最小值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知抛物线y
2
=6x,过点P(4,1)引一弦,使它恰在点P被平分,求这条弦所在的直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
直线y=kx+1与双曲线x
2
-y
2
=1的左支交于A,B两点,直线l经过点(-2,0)及AB中点,求直线l在y轴上截距b的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设抛物线C:y
2
=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.
(1)设L的斜率为1,求|AB|的大小;
(2)求证:
OA
•
OB
是一个定值.
题型:不详
难度:
|
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若直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆
x
2
5
+
y
2
m
=1
恒有公共点,则实数m的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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