已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B.(Ⅰ) 若|AB|=163,求直线l的方程.(Ⅱ) 求|AB|的最小值.

已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B.(Ⅰ) 若|AB|=163,求直线l的方程.(Ⅱ) 求|AB|的最小值.

题型:不详难度:来源:
已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B.
(Ⅰ) 若|AB|=
16
3
,求直线l的方程.
(Ⅱ) 求|AB|的最小值.
答案
解法一:(1)设直线l的方程为:x+my-1=0,
代入y2=4x,整理得,y2+4my-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1,y2是上述关于y的方程的两个不同实根,所以y1+y2=-4m
根据抛物线的定义知:
|AB|=x1+x2+2=(1-my1)+(1-my2)+2=4(m2+1)
|AB|=
16
3
,则4(m2+1)=
16
3
,m=±


3
3

即直线l有两条,其方程分别为:x+


3
3
y-1=0,x-


3
3
y-1=0

(2)由(1)知,|AB|=4(m2+1)≥4,
当且仅当m=0时,|AB|有最小值4.
解法二:(1)由抛物线的焦点弦长公式|AB|=
2P
sin2θ
(θ为AB的倾斜角),
知sinθ=±


3
2

即直线AB的斜率k=tanθ=±


3

故所求直线方程为:x+


3
3
y-1=0
x-


3
3
y-1=0

(2)由(1)知|AB|=
2P
sin2θ
=
4
sin2θ

∴|AB|min=4 (此时sinθ=1,θ=90°)
故|AB|有最小值4.
举一反三
已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一弦,使它恰在点P被平分,求这条弦所在的直线l的方程.
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直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,直线l经过点(-2,0)及AB中点,求直线l在y轴上截距b的取值范围.
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设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.
(1)设L的斜率为1,求|AB|的大小;
(2)求证:


OA


OB
是一个定值.
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若直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆
x2
5
+
y2
m
=1
恒有公共点,则实数m的取值范围为______.
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已知椭圆C的焦点F1(-2


2
,0)和F22


2
,0),长轴长6.
(1)设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标.
(2)求过点(0,2)的直线被椭圆C所截弦的中点的轨迹方程.
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