过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使得弦被M点平分,则此弦所在的直线方程为______.

过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使得弦被M点平分,则此弦所在的直线方程为______.

题型:不详难度:来源:
过椭圆
x2
16
+
y2
4
=1内一点M(2,1)引一条弦,使得弦被M点平分,则此弦所在的直线方程为______.
答案
设直线与椭圆交于点A,B,设A(x1,y1),B(x2,y2
由题意可得





x12
16
+
y12
4
=1
x22
16
+
y22
4
=1
,两式相减可得
(x1-x2)(x1+x2)
16
+
(y1-y2)(y1+y2)
4
=0

由中点坐标公式可得,
1
2
(x1+x2)=2
1
2
(y1+y2)=1

KAB=
y1-y2
x1-x2
=-
x1+x2
4(y1+y2)
=-
1
2

∴所求的直线的方程为y-1=-
1
2
(x-2)即x+2y-4=0
故答案为x+2y-4=0
举一反三
已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,则我们知道
1
|AF|
+
1
|BF|
为定值,请写出关于椭圆的类似的结论:______,当椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1时,
1
|AF|
+
1
|BF|
=______.
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已知两点A(0,


3
)
B(0,-


3
)
.曲线G上的动点P(x,y)使得直线PA、PB的斜率之积为-
3
4

(I)求G的方程;
(II)过点C(0,-1)的直线与G相交于E、F两点,且


EC
=2


CF
,求直线EF的方程.
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已知两点F1(-


2
,0)
F2(


2
,0)
,曲线C上的动点P(x,y)满足
.
PF1
.
PF2
+|
.
PF1
|×|
.
PF2
|=2.
(I)求曲线C的方程;
(II)设直线l:y=kx+m(k≠0),对定点A(0,-1),是否存在实数m,使直线l与曲线C有两个不同的交点M、N,满足|AM|=|AN|?若存在,求出m的范围;若不存在,请说明理由.
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已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B.
(Ⅰ) 若|AB|=
16
3
,求直线l的方程.
(Ⅱ) 求|AB|的最小值.
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已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一弦,使它恰在点P被平分,求这条弦所在的直线l的方程.
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