已知抛物线C:y=-12x2+6,点P(2,4)、A、B在抛物线上,且直线PA、PB的倾斜角互补.(1)证明:直线AB的斜率为定值.(2)当直线AB在y轴上的截
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已知抛物线C:y=-12x2+6,点P(2,4)、A、B在抛物线上,且直线PA、PB的倾斜角互补.(1)证明:直线AB的斜率为定值.(2)当直线AB在y轴上的截
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线C:y=-
1
2
x
2
+6,点P(2,4)、A、B在抛物线上,且直线PA、PB的倾斜角互补.
(1)证明:直线AB的斜率为定值.(2)当直线AB在y轴上的截距为正数时,求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程.
答案
(Ⅰ)证:易知点P在抛物线C上,设PA的斜率为k,则直线PA的方程是y-4=k(x-2).
代入y=-
1
2
x
2
+6并整理得x
2
+2kx-4(k+1)=0此时方程应有根x
A
及2,
由韦达定理得:
2x
A
=-4(k+1),∴x
A
=-2(k+1).∴y
A
=k(x
A
-2)+4.=-k
2
-4k+4.∴A(-2(k+1),-k
2
-4k+4).
由于PA与PB的倾斜角互补,故PB的斜率为-k.
同理可得B(-2(-k+1),-k
2
+4k+4)
∴k
AB
=2.
(Ⅱ)∵AB的方程为y=2x+b,b>0.代入方程y=-
1
2
x
2
+6消去y得
1
2
x
2
+2x+b-6=0.
|AB|=2
(1+
2
2
)[4-2(b-6)]
=2
5(16-2b)
.
∴S=
1
2
|AB|d=
1
2
•2
5(16-2b)
•
b
5
(16-2b)•b•b
≤
(
16-2b+b+b
3
)
3
=
64
3
9
.
此时方程为y=2x+
16
3
.
举一反三
过椭圆
x
2
16
+
y
2
4
=1内一点M(2,1)引一条弦,使得弦被M点平分,则此弦所在的直线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y
2
=2px(p>0),过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,则我们知道
1
|AF|
+
1
|BF|
为定值,请写出关于椭圆的类似的结论:______,当椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1时,
1
|AF|
+
1
|BF|
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知两点
A(0,
3
)
,
B(0,-
3
)
.曲线G上的动点P(x,y)使得直线PA、PB的斜率之积为
-
3
4
.
(I)求G的方程;
(II)过点C(0,-1)的直线与G相交于E、F两点,且
EC
=2
CF
,求直线EF的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知两点
F
1
(-
2
,0)
、
F
2
(
2
,0)
,曲线C上的动点P(x,y)满足
.
P
F
1
•
.
P
F
2
+|
.
P
F
1
|×|
.
P
F
2
|=2.
(I)求曲线C的方程;
(II)设直线l:y=kx+m(k≠0),对定点A(0,-1),是否存在实数m,使直线l与曲线C有两个不同的交点M、N,满足|AM|=|AN|?若存在,求出m的范围;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B.
(Ⅰ) 若
|AB|=
16
3
,求直线l的方程.
(Ⅱ) 求|AB|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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