抛物线x2=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线L交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB,试求动点R的轨迹方程,并说明曲线的类型.

抛物线x2=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线L交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB,试求动点R的轨迹方程,并说明曲线的类型.

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抛物线x2=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线L交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB,试求动点R的轨迹方程,并说明曲线的类型.
答案
设直线:AB:y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),R(x,y),由题意F(0,1).
由 y=kx-1,x2=4y,
可得x2=4kx-4.
∴x1+x2=4k.
∵AB和RF是平行四边形的对角线,
∴x1+x2=x,y1+y2=y+1.
y1+y2=k(x1+x2)-2=4k2-2,
∴x=4k y=4k2-3,消去k,可得得x2=4(y+3).
又∵直线和抛物线交于不同两点,
∴△=16k2-16>0,
|k|>1
∴|x|>4
所以x2=4(y+3),(|x|>4)
举一反三
直线y=2x-3与双曲线
x2
2
-y2=1
相交于两点,则|AB|=______.
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已知点A、B的坐标分别是A(0,-1),B(0,1),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积是-t,t∈(0,1].求M的轨迹方程,并说明曲线的类型.
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椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上任一点P到两焦点的距离的和为6,离心率为
2


2
3
,A、B分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设C(x,y)(0<x<a)为椭圆上一动点,D为C关于y轴的对称点,四边形ABCD的面积为S(x),设f(x)=
[S(x)]2
x+3
,求函数f(x)的最大值.
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斜率为1的直l与椭圆
x2
4
+y2=1
相交于A,B两点,则|


AB
|的最大值为______.
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y2
12
-
x2
4
=1
的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为______.
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