设双曲线xy=1的两支为C1,C2(如图),正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上.(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;(2)设P(-1,-1)在C2
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设双曲线xy=1的两支为C1,C2(如图),正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上.(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;(2)设P(-1,-1)在C2
题型:不详
难度:
来源:
设双曲线xy=1的两支为C
1
,C
2
(如图),正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上.
(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;
(2)设P(-1,-1)在C
2
上,Q、R在C
1
上,求顶点Q、R的坐标.
答案
(1)证明:设某个正三角形的三个顶点都在同一支上,
此三点坐标为P(
x
1
,
1
x
1
),O(
x
2
,
1
x
2
),R(
x
3
,
1
x
3
),
则
1
x
1
>
1
x
2
>
1
x
3
>0
,
k
PO
=
1
x
2
-
1
x
1
x
2
-
x
1
=-
1
x
1
x
2
,k
PR
=
1
x
3
-
1
x
1
x
3
-
x
1
=-
1
x
2
x
3
,
tan∠POR=
-
1
x
1
x
2
+
1
x
2
x
3
1+
1
x
1
x
3
x
2
2
<0,
从而∠POR为钝角,即△POR不可能是正三角形.
所以P、Q、R不能都在双曲线的同一支上.
(2)P(-1,-1),设O(
x
2
,
1
x
2
),点P在直线y=x上,
以P为圆心,|PO|为半径作圆,
此圆与双曲线第一象限内的另一交点R满足|PO|=|PR|,
由圆与双曲线都与y=x对称,
知O与R关于y=x对称,
且在第一象限内此两条曲线没有其他交点(二曲线的交点个数),
于是R(
1
x
2
,x
2
),
∴PO与y=x的夹角等于30°,PO所在直线的倾斜角等于75°,
tan75°=
1+
3
3
1-
3
3
=2+
3
.
PO所在的直线方程为y+1=(2+
3
)(x+1),
代入xy=1,
解得O(2-
3
,2+
3
),于是R(2+
3
,2-
3
).
举一反三
直线y=x+1被椭圆x
2
+2y
2
=4所截得的弦的中点坐标是( )
A.(
1
3
,-
2
3
)
B.(-
2
3
,
1
3
)
C.(
1
2
,-
1
3
)
D.(-
1
3
,
1
2
)
题型:不详
难度:
|
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直线
x
4
+
y
3
=1
与椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=1
相交于A,B两点,该椭圆上点P,使得△PAB面积等于3,这样的点P共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y
2
=2px及定点A(a,b),B(-a,0),(ab≠0,b
2
≠2pa).M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M
1
,M
2
.
求证:当M点在抛物线上变动时(只要M
1
,M
2
存在且M
1
≠M
2
),直线M
1
M
2
恒过一个定点.并求出这个定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线x
2
=y+1上一定点A(-1,0)和两动点P,Q,当PA⊥PQ时,点Q的横坐标的取值范围是( )
A.(-∞,-3]
B.[1,+∞)
C.[-3,1]
D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=2px (p>0)上一点P(6,m)到其焦点F的距离为7,则抛物线C的以点M(2,1)为中点的弦AB所在直线的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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