己知直线l的斜率为k,它与抛物线y2=4x相交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若AF=2FB,则|k|=( )A.22B.3C.24D.33
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己知直线l的斜率为k,它与抛物线y2=4x相交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若AF=2FB,则|k|=( )A.22B.3C.24D.33
题型:唐山一模
难度:
来源:
己知直线l的斜率为k,它与抛物线y
2
=4x相交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若
AF
=2
FB
,则|k|=( )
A.
2
2
B.
3
C.
2
4
D.
3
3
答案
设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),与抛物线y
2
=4x相交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
联立
y
2
=4x
y=kx+m
,得k
2
x
2
+(2km-4)x+m
2
=0.
所以△=(2km-4)
2
-4k
2
m
2
=16-16km>0,即km<1.
x
1
+
x
2
=
4-2km
k
2
,
x
1
x
2
=
m
2
k
2
.
由y
2
=4x得其焦点F(1,0).
由
AF
=2
FB
,得(1-x
1
,-y
1
)=2(x
2
-1,y
2
).
所以
1-
x
1
=2
x
2
-2①
-
y
1
=2
y
2
②
,
由①得,x
1
+2x
2
=3 ③
由②得,
x
1
+2
x
2
=-
3m
k
.
所以m=-k.
再由
AF
=2
FB
,得
|
AF
|=2|
FB
|
,
所以x
1
+1=2(x
2
+1),即x
1
-2x
2
=1④
联立③④得
x
1
=2,
x
2
=
1
2
.
所以
x
1
+
x
2
=
4-2km
k
2
=
5
2
.
把m=-k代入得
4-2k(-k)
k
2
=
5
2
,解得
|k|=2
2
,满足mk=-8<1.
所以
|k|=2
2
.
故选A.
举一反三
设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)对称轴与x轴平行,开口向右,直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是
4
10
,求抛物线的方程.
题型:云南
难度:
|
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如图,A
1
,A为椭圆的两个顶点,F
1
,F
2
为椭圆的两个焦点.
(Ⅰ)写出椭圆的方程及准线方程;
(Ⅱ)过线段OA上异于O,A的任一点K作OA的垂线,交椭圆于P,P
1
两点,直线A
1
P与AP
1
交于点M.求证:点M在双曲线
x
2
25
-
y
2
9
=1
上.
题型:北京
难度:
|
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直线y=kx+1与双曲线3x
2
-y
2
=1相交于A.B两点,O为坐标原点.
(1)若k=1(2),求△AOB的面积
(3)若A.B在双曲线的左右两支上,求k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设0<θ<
π
2
,曲线x
2
sinθ+y
2
cosθ=1和x
2
cosθ-y
2
sinθ=1有4个不同的交点.
(Ⅰ)求θ的取值范围;
(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.
题型:江西
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率
e=
3
2
,且短半轴b=1,F
1
,F
2
为其左右焦点,P是椭圆上动点.
(Ⅰ)求椭圆方程.
(Ⅱ)当∠F
1
PF
2
=60°时,求△PF
1
F
2
面积.
(Ⅲ)求
P
F
1
•
P
F
2
取值范围.
题型:不详
难度:
|
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