已知椭圆C的焦点分别为F1(-22,0)和F2(22,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求:线段AB的中点坐标.

已知椭圆C的焦点分别为F1(-22,0)和F2(22,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求:线段AB的中点坐标.

题型:上海难度:来源:
已知椭圆C的焦点分别为F1(-2


2
,0)和F2(2


2
,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求:线段AB的中点坐标.
答案
设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1,
由题意a=3,c=2


2

b=


a2-c2
=1.(3分)
∴椭圆C的方程为
x2
9
+y2=1.(5分)
联立方程组





y=x+2
x2
9
+y2=1
,消y得10x2+36x+27=0,
因为该二次方程的判别式△>0,所以直线与椭圆有两个不同的交点,(9分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-
18
5

故线段AB的中点坐标为(-
9
5
1
5
).(12分)
举一反三
设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N,则当线段MN取得最小值时a的值为______.
题型:江苏二模难度:| 查看答案
已知4x2+5y2=1,则2x+


5
y的最大值是(  )
A.


2
B.1C.3D.9
题型:不详难度:| 查看答案
给定椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),称圆心在坐标原点O,半径为


a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为F2


2
,0),其短轴上的一个端点到F2距离为


3

(1)求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)若过点P(0,m)(m<0)的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2


2
,求m的值;
(3)过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,当直线l1,l2都有斜率时,试判断直线l1,l2的斜率之积是否为定值,并说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
一束光线从点F1(-1,0)出发,经直线l:2x-y+3=0上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).      
(Ⅰ)求点F1关于直线l的对称点F1′的坐标;
(Ⅱ)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程;
(Ⅲ)设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点,点Q为线段AB上的动点,求点Q 到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点Q的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
({a>0,b>0})与抛物线y2=2px(p>0)有相同的焦点,点A是两曲线的交点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率是(  )
A.
1+


5
2
B.


3
-1
C.


2
-1
D.


2
-
1
2
题型:重庆模拟难度:| 查看答案
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