已知A(8,0),B、C两点分别在y轴上和x轴上运动,并且满足AB•BP=0,BC=CP,(1)求动点P的轨迹方程;(2)若过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、

已知A(8,0),B、C两点分别在y轴上和x轴上运动,并且满足AB•BP=0,BC=CP,(1)求动点P的轨迹方程;(2)若过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、

题型:不详难度:来源:
已知A(8,0),B、C两点分别在y轴上和x轴上运动,并且满足


AB


BP
=0,


BC
=


CP

(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点,


QM


QN
=97,其中Q(-1,0),求直线l的方程.
答案
(1)设B(0,b),C(c,0),P(x,y),则


AB
=(-8,b),


BP
=(x,y-b)



AB


BP
=-8x+b(y-b)=0 ①


BC
=


CP
,得(c,-b)=(x-c,y),
∴b=-y,
代入①并化简得,y2=4x;
(2)设l:x=my+8 ②
把②代入y2=4x,整理得
y2-4my-32=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
y1+y2=4m,y1y2=-32.
由②得,x1+x2=m(y1+y2)+16=4m2+16
x1x2=(my1+8)(my2+8)=m2y1y2+8m(y1+y2)+64=64


QM


QN
=(x1+1)(x2+1)+y1y2

=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2
=64+4m2+16+1-32
=4m2+49=97,
解得:m=土2


3

∴l:x土2


3
y-8=0.
举一反三
如图,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是α内异于A和B的动点,且PC⊥AC.那么,动点C在平面α内的轨迹是(  )
A.一条线段,但要去掉两个点
B.一个圆,但要去掉两个点
C.一个椭圆,但要去掉两个点
D.半圆,但要去掉两个点

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已知长为


2
+1
的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上的一点,且


AP
=


2
2


PB
,则点P的轨迹方程为______.
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已知直线l:xcosθ+ysinθ=1,且0P⊥l于P,O为坐标原点,则点P的轨迹方程为(  )
A.x2+y2=1B.x2-y2=1C.x+y=1D.x-y=1
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已知定点O(0,0),A(3,0),动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是
1
2

(1)记动点P的轨迹为曲线D.求曲线D的方程,并说明方程表示的曲线;
(2)若M是圆E:(x-2)2+(y-4)2=64上任意一点,过M作曲线D的切线,切点是N,求|MN|的取值范围.
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设x,y∈R,若向量


a
=(x,y+2)


b
=(x,y-2)
,且|


a
|-|


b
|=2
,则点M(x,y)的轨迹C的方程为______.
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