已知直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2(m、a∈R)交于A、B两点,O为坐标原点.(1)当m=0时,有∠AOB=π3,求曲线C的方程;(2)当实数a

已知直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2(m、a∈R)交于A、B两点,O为坐标原点.(1)当m=0时,有∠AOB=π3,求曲线C的方程;(2)当实数a

题型:不详难度:来源:
已知直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2(m、a∈R)交于A、B两点,O为坐标原点.
(1)当m=0时,有∠AOB=
π
3
,求曲线C的方程;
(2)当实数a为何值时,对任意m∈R,都有


OA


OB
为定值T?指出T的值;
(3)已知点M(0,-1),当a=-2,m变化时,动点P满足


MP
=


OA
+


OB
,求动点P的纵坐标的变化范围.
答案
(1)当m=0时,联立方程可得:ax2=1,∴x=±


1
a

A(


1
a
,1)
B(-


1
a
,1)
,∵∠AOB=
π
3
,∴
1
2
=
-
1
a
+1
1
a
+1
解得:a=3,
∴方程为
3x2
2
+
y2
2
=1

(2)设A、B两点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),联立方程:





y=mx+1
ax2+y2=2
可得:
(a+m2)x2+2mx-1=0





x1+x2=-
2m
a+m2
x1x2=-
1
a+m2



OA


OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(mx1+1)(mx2+1)
=(m2+1)x1x2+m(x1+x2)+1=-
m2+1
a+m2
-
2m2
a+m2
+1=
a-2m2-1
a+m2

要使


OA


OB
=T
,则-2m2+(a-1)=Tm2+Ta∴T=-2且a-1=Ta即a=
1
3
且T=-2
而当a=
1
3
时,
1
3
+m2≠0
△=4m2+4(
1
3
+m2)=8m2+
4
3
>0
恒成立∴当实数a=
1
3
时,对任意m∈R,都有


OA


OB
=-2

(3)设P(x,y),∴


MP
=(x,y+1)
,∴y+1=y1+y2=m(x1+x2)+2=
4
2-m2
y=
2+m2
2-m2

又对方程(m2-2)x2+2mx-1=0,△=8m2-8>0,∴m2>1且m2≠2
y=-1+
4
2-m2
,∴y>3或y<-1
举一反三
已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切;
(1)求动圆圆心M的轨迹方程;
(2)设过点P且斜率为-


3
的直线与曲线M相交于A、B两点,求线段AB的长.
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已知圆A:(x+2)2+y2=36,圆A内一定点B(2,0),圆P过B点且与圆A内切,则圆心P的轨迹为(  )
A.圆B.椭圆C.直线D.以上都不对
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已知P是曲线y=2x2-1上的动点,定点A(0,-1),且点P不同于点A,若M点满足


PM
=2


MA
,求点M的轨迹方程.
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若动点M到定点F1(0,-1)、F2(0,1)的距离之和为2,则点M的轨迹为(  )
A.椭圆B.直线F1F2
C.线段F1F2D.直线F1F2的垂直平分线
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已知O是坐标原点,点A(2,0),△AOC的顶点C在曲线y2=4(x-1)上,那么△AOC的重心G的轨迹方程是(  )
A.3y2=4(x-1)B.3y2=4(x-1)(y≠0)
C.
y2
3
=4(x-1)
D.
y2
3
=4(x-1)(y≠0)
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