已知直线l:y=k(x-5)及圆C:x2+y2=16.(1)若直线l与圆C相切,求k的值;(2)若直线l与圆C交于A、B两点,求当k变动时,弦AB的中点的轨迹.
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已知直线l:y=k(x-5)及圆C:x2+y2=16. (1)若直线l与圆C相切,求k的值; (2)若直线l与圆C交于A、B两点,求当k变动时,弦AB的中点的轨迹. |
答案
(1)直线l与圆C相切,圆心(0,0)到直线l的距离等于半径,即:=4,∴k=± (2)设弦AB的中点(x,y),则过圆心与直线l垂直的直线:x+ky=0,它与y=k(x-5)联立,因为中点在这两条直线上,所以弦AB的中点的轨迹方程是:x2+y2-5x=0 (x<),轨迹以(,0)为圆心,以为半径的圆的一部分. |
举一反三
以y轴为准线的椭圆经过定点M(1,2),且离心率e=,则椭圆的左焦点的轨迹方程为______. |
已知抛物线C:y=x2-xcosθ+cos2θ+2sinθ(θ∈R) (I)当θ变化时,求抛物线C的顶点的轨迹E的方程; (II)已知直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交(I)中轨迹E于A、B两点,若=2,求直线l的方程. |
已知抛物线x2=2py上点(2,2)处的切线经过椭圆E:+=1(a>b>0)的两个顶点. (1)求椭圆E的方程; (2)过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为-4的直线与该椭圆交于B、C两点.请问:是否存在一点D,使得直线BC恒过该点?若存在,请求出定点D的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,过点A作直线BC的垂线,垂足为H,求点H的轨迹方程. |
动点P(x,y)到点F(0,1)的距离与它到直线y+1=0的距离相等,则动点P的轨迹方程为______. |
已知圆M:(x-m)2+(y-n)2=γ2及定点N(1,0),点P是圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足=2,•=0. (Ⅰ)若m=-1,n=0,r=4,求点G的轨迹C的方程; (Ⅱ)若动圆M和(Ⅰ)中所求轨迹C相交于不同两点A、B,是否存在一组正实数m,n,r使得直线MN垂直平分线段AB,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由. |
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