已知直线的方向向量为及定点,动点满足,MN+MF=2MG,MG•(MN-MF)=0,其中点N在直线l上.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)设A、B是轨迹C上异

已知直线的方向向量为及定点,动点满足,MN+MF=2MG,MG•(MN-MF)=0,其中点N在直线l上.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)设A、B是轨迹C上异

题型:不详难度:来源:
已知直线的方向向量为及定点,动点满足,


MN
+


MF
=2


MG


MG
•(


MN
-


MF
)=0
,其中点N在直线l上.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,若α+β=θ为定值(0<θ<π),试问直线AB是否恒过定点,若AB恒过定点,请求出该定点的坐标,若AB不恒过定点,请说明理由.
答案
(1)由题意知:|MF|=|MN|,
由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,其中F(2,0)为焦点,
x=-2为准线,
所以轨迹方程为y2=8x;…(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得x1≠x2(否则α+β=π)且x1,x2≠0,
所以AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,
显然x1=
y21
8
x2=
y22
8

将y=kx+b与y2=8x消去x,得ky2-8y+8b=0,由韦达定理知y1+y2=
8
k
y1y2=
8b
k
①…(6分)
(i)当θ=
π
2
时,即α+β=
π
2
时,
tanα•tanβ=1,
所以
y1
x1
y2
x2
=1,x1x2-y1y2=0
y21
y22
64
-y1y2=0

所以y1y2=64,由①知:
8b
k
=64
,所以b=8k.
因此直线AB的方程可表示为y=kx+8k,
即k(x+8)-y=0所以直线AB恒过定点(-8,0)…(8分)
(ii)当θ≠
π
2
时,由α+β=θ,
得tanθ=tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=
8(y1+y2)
y1y2-64
,…(10分)
将①式代入上式整理化简可得:tanθ=
8
b-8k

所以b=
8
tanθ
+8k

此时,直线AB的方程可表示为y=kx+
8
tanθ
+8k

k(x+8)-(y-
8
tanθ
)=0

所以直线AB恒过定点(-8,
8
tanθ
)

θ=
π
2
时,AB恒过定点(-8,0),当θ≠
π
2
时,
AB恒过定点(-8,
8
tanθ
)
.…(12分)
举一反三
动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B(3,0)连线的中点为P,则P点的轨迹方程为:______.
题型:不详难度:| 查看答案
下列命题正确的是(  )
①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1).则动点M的轨迹是圆.
②椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=


2
2
,则b=c(c
为半焦距).
③双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的焦点到渐近线的距离为b.
④已知抛物线y2=2px上两点A(x1,y1),B(x2,y2)且OA⊥OB(O为原点),则y1y2=-p2
A.②③④B.①④C.①②③D.①③
题型:不详难度:| 查看答案
在正四面体P-ABC中,M为△ABC内(含边界)一动点,且点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离成等差数列,则点M的轨迹是(  )
A.一条线段B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
题型:宜春模拟难度:| 查看答案
已知动抛物线的准线为x轴,且经过点(0,2),求抛物线的顶点轨迹方程.
题型:不详难度:| 查看答案
平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满足


OC


OA


OB
,其中α,β∈R,且α-2β=1.
(Ⅰ)求点C的轨迹方程;
(Ⅱ)设点C的轨迹与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求证:
1
a2
-
1
b2
为定值.
题型:不详难度:| 查看答案
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