已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同
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已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ) 已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线过定点. |
答案
(Ⅰ)设圆心C(x,y),过点C作CE⊥y 轴,垂足为E,则|ME|=|MN|, ∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2, ∴(x-4)2+y2=42+x2,化为y2=8x. (II)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由题意可知y1+y2≠0,y1y2<0.=8x1,=8x2. ∵x轴是∠PBQ的角平分线,∴kPB=-kQB, ∴=-,∴=,化为8+y1y2=0. 直线PQ的方程为y-y1=(x-x1), ∴y-y1=(x-x1),化为y-y1=(x-), 化为y(y2+y1)-y1(y2+y1)=8x-, y(y1+y2)+8=8x,令y=0,则x=1, ∴直线PQ过 定点(1,0) |
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2. (Ⅰ)求圆心P的轨迹方程; (Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程. |
已知M(2,0),N(-2,0),动点P满足|PN|-|PM|=2,点P的轨迹为W,过点M的直线与轨迹W交于A,B两点. (Ⅰ)求轨迹W的方程; (Ⅱ)若2=,求直线AB斜率k的值,并判断以线段AB为直径的圆与直线x=的位置关系,并说明理由. |
已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若=λ·,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是( )A.圆 | B.椭圆 | C.抛物线 | D.双曲线 | 已知直线的方向向量为及定点,动点满足,+=2,•(-)=0,其中点N在直线l上. (1)求动点M的轨迹C的方程; (2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,若α+β=θ为定值(0<θ<π),试问直线AB是否恒过定点,若AB恒过定点,请求出该定点的坐标,若AB不恒过定点,请说明理由. | 动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B(3,0)连线的中点为P,则P点的轨迹方程为:______. |
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