已知A(-2,0)、B(2,0),点C、点D依次满足|AC|=2,AD=12(AB+AC).(1)求点D的轨迹方程;(2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于
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已知A(-2,0)、B(2,0),点C、点D依次满足|AC|=2,AD=12(AB+AC).(1)求点D的轨迹方程;(2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于
题型:湖北模拟
难度:
来源:
已知A(-2,0)、B(2,0),点C、点D依次满足
|
AC
|=2,
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)
.
(1)求点D的轨迹方程;
(2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点,线段MN的中点到y轴的距离为
4
5
,且直线l与点D的轨迹相切,求该椭圆的方程.
答案
(1)设C、D点的坐标分别为C(x
0
,y
0
),D(x,y),
则
AC
=(
x
0
+2,
y
0
),
AB
=(4,0)
,
则
AB
+
AC
=(
x
0
+6,
y
0
)
,
故
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)=(
x
0
2
+3,
y
0
2
)
.
又
x
0
=2x-2
y
0
=2y.
代入
|
AC
|=
(
x
0
+2)
2
+
y
20
=2
中,整理得x
2
+y
2
=1,
即为所求点D的轨迹方程.
(2)易知直线l与x轴不垂直,设直线l的方程为y=k(x+2),①
又设椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,②
因为直线l:kx-y+2k=0与圆x
2
+y
2
=1相切.
故
|2k|
k
2
+1
=1
,
解得
k
2
=
1
3
.将①代入②整理得,(a
2
k
2
+a
2
-4)x
2
+4a
2
k
2
x+4a
2
k
2
-a
4
+4a
2
=0,③
将
k
2
=
1
3
代入上式,
整理得
(
a
2
-3)
x
2
+
a
2
x-
3
4
a
4
+4
a
2
=0
,
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
则
x
1
+
x
2
=-
a
2
a
2
-3
,
由题意有,求得.
经检验,此时③的判别式
故所求的椭圆方程为
x
2
8
+
y
2
4
=1
.
举一反三
点P是圆x
2
+y
2
=16上的一个动点,过点P作PD垂直于x轴,垂足为D,Q为线段PD的中点.
(1)求点Q的轨迹方程.
(2)若经过点(-1,1)的直线与Q点轨迹有两个不同交点,求直线斜率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图,在圆C:(x+1)
2
+y
2
=25内有一点A(1,0),Q为圆C上一点,AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,求点M的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆与双曲线2x
2
-2y
2
=1共焦点,且过(
2
,0
)
(1)求椭圆的标准方程.
(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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已知两定点A(-1,0),B(2,0),动点P满足
|PA|
|PB|
=
1
2
,则P点的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知圆M:(x+
5
)
2
+y
2
=36,定点N(
5
,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足
NP
=2
NQ
,
GQ
•
NP
=0.
(I)求点G的轨迹C的方程;
(II)点F(x,y)在轨迹C上,求2x
2
+y的最大值与最小值.
题型:不详
难度:
|
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