已知数列{an}、{bn}满足：a1=1，a2=a（a为实数），且，其中n=1，2，3，…（Ⅰ）求证：“若数列{an}是等比数列，则数列{bn}也是等比数列”是

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=1，a₂=a（a为实数），且，其中n=1，2，3，…
（Ⅰ）求证：“若数列{a_n}是等比数列，则数列{b_n}也是等比数列”是真命题；
（Ⅱ）写出（Ⅰ）中命题的逆命题；判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

答案

（I）证明见解析
（II）逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.

解析

（I）因为是等比数列，
又…………………………………………2分

∴是以a为首项，为公比的等比数列.………………………………6分
（II）（I）中命题的逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.
……………………………………………………………8分
设的公比为则
又
是以1为首项，q为公比的等比数列，
是以为首项，q为公比的等比数列.……………………10分
即为1，a，q，aq，q²，aq²，…
但当q≠a²时，不是等比数列
故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分
另解：取a=2，q=1时，

因此是等比数列，而不是等比数列.
故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分