已知a>0,命题p:∀x>0,x+ax≥2恒成立;命题q:∀k∈R,直线kx-y+2=0与椭圆x2+y2a2=1恒有公共点.问:是否存在正实数a,使得p∨q为真

已知a>0,命题p:∀x>0,x+ax≥2恒成立;命题q:∀k∈R,直线kx-y+2=0与椭圆x2+y2a2=1恒有公共点.问:是否存在正实数a,使得p∨q为真

题型:不详难度:来源:
已知a>0,命题p:∀x>0,x+
a
x
≥2恒成立;命题q:∀k∈R,直线kx-y+2=0与椭圆x2+
y2
a2
=1恒有公共点.问:是否存在正实数a,使得p∨q为真命题,p∧q为假命题?若存在,请求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
答案
∵命题p:∀x>0,x+
a
x
≥2恒成立
∴要x+
a
x
≥2恒成立,应有2√a≥2
∴a的取值范围:a≥1
又∵命题q:∀k∈R,直线kx-y+2=0与椭圆x2+
y2
a2
=1恒有公共点
∵对任意k,直线kx-y+2=0恒过定点(0,2)
∴要使直线kx-y+2=0与椭圆x2+
y2
a2
=1有公共点,(0,2)在椭圆内部
∴应有,
22
a2
+02≤1

∴a的取值范围:a≥2
∵若p∨q为真命题,p∧q为假命题
∴p、q一真一假,
①p真q假,那么a的取值范围:





a≥1
a<2
a>0

②p假q真,那么a的取值范围:





a<1
a≥2
a>0

解得出a的取值范围:1≤a<2
综上,存在1≤a<2,使得p∨q为真命题,p∧q为假命题
举一反三
已知命题p:函数f(x)=sin2x的最小正周期为π;q:函数g(x)=cosx是奇函数;则下列命题中为真命题的是(  )
A.p∨qB.p∧qC.¬pD.(¬p)∨q
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下列语句表示命题的是(  )
A.12<5B.x∈{1,2,3,4,5}
C.指数函数是增函数吗?D.x>15
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已知命题p:3≥3,q:3>4,则下列判断正确的是(  )
A.p∨q为真,p∧q为假,¬p为假
B.p∨q为真,p∧q为假,¬p为真
C.p∨q为假,p∧q为假,¬p为假
D.p∨q为真,p∧q为真,¬p为假
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设命题p:∀x∈[0,1],x2+m<0;命题q:方程
x2
m-3
+
y2
m-5
=1
表示焦点在x轴上的椭圆.
(1)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.
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已知a>0,a≠1,设p:函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若“p且q”为假,“﹁q”为假,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
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