函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是 （　　）A．a2+b2=0B．a+b=0C．a=bD．ab=0

题型：宝山区一模难度：来源：

函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是 （　　）

A．a2+b2=0

B．a+b=0

C．a=b

D．ab=0

答案

因为函数f（x）的定义域为[-1，1]，且函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，
则，f（0）=0，即barccos0=0，
所以，b=0．
再由f（-1）=-f（1），得：
-|arcsin（-1）+a|+barccos（-1）=-|arcsin1+a|+barccos1，
即-|-

π

2

+a|+πb=-|

π

2

+a|，
|-

π

2

+a|=|

π

2

+a|，
所以，a=0
所以，函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的必要条件是a=0，b=0．
下面证明充分性
若a=0，b=0．
则f（x）=x|arcsinx|，
f（-x）=-x|srxsin（-x）|=-x|-arcsinx|=-x|arcsinx|=-f（x）．
所以f（x）是奇函数．
综上，f（x）是奇函数的充要条件是 a=0且b=0，即a²+b²=0．
故选A．