已知数列{an},记A(n)=a1+a2+a3+…+an,B(n)=a2+a3+a4+…+an+1,C(n)=a3+a4+a5+…+an+2,(n=1,2,3,
题型:崇明县一模难度:来源:
已知数列{an},记A(n)=a1+a2+a3+…+an,B(n)=a2+a3+a4+…+an+1,C(n)=a3+a4+a5+…+an+2,(n=1,2,3,…),并且对于任意n∈N*,恒有an>0成立. (1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式; (2)证明:数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. |
答案
(1)由题意可得2B(n)=A(n)+C(n), 代入可得2(a2+a3+a4+…+an+1)=(a1+a2+a3+…+an)+(a2+a3+a4+…+an+1), 化简可得an+2-an+1=a2-a1=4,n∈N*,所以. ∴数列{an}的通项公式an=4n-3,n∈N* (2)(必要性)若数列{an}是公比为q的等比数列, 则==q,==q, 所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列. (充分性):若对于任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列, 则B(n)=qA(n),C(n)=qB(n), 于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],得an+2-a2=q(an+1-a1),即an+2-qan+1=a2-a1. 由n=1有B(1)=qA(1),即a2=qa1,从而an+2-qan+1=0. 因为an>0,所以==q,故数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列. 综上可得,数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的n∈N*,都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列. |
举一反三
下列判断:①(am)n=am+n②函数y=1+ex是增函数 ③b2=4ac是方程ax2+bx+c=0有且只有一个实根的充要条件 ④y=lnx与y=-lnx的图象关于x轴对称.其中正确判断的个数为( ) |
命题“(x-1)2+(y-2)2=0”是(x-1)(y-2)=0的( )A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 | C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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4a2+b2=1是直线 y=2x+1与椭圆 +=1相切的( )A.充要条件 | B.充分非必要条件 | C.必要非充分条件 | D.非充分非必要条件 |
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“x<0”是“|x|>x”的( )A.充分而不必要条件 | B.必要而不充分条件 | C.充分必要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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“a>0”是“方程ax2-3x-1=0至少有一个负数根”的( )A.充分必要条件 | B.必要不充分条件 | C.充分不必要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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