证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0.
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证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0. |
答案
充分性:设△=b2-4ac≤0则af(x)=a2x2+abx+ac=a2(x+)2-+ac=a2(x+)2-(b2-4ac)≥0, 所以af(m)≥0,这与af(m)<0矛盾,即b2-4ac>0. 故二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)有两个不等的零点,设为x1,x2,且x1<x2,从而f(x)=a(x-x1)(x-x2), af(m)=a2(m-x1)(m-x2)<0,所以x1<m<x2. 必要性:设x1,x2是方程的两个零点,且x<x2,由题意知x1<m<x2, 因为f(x)=a(x-x1)(x-x2),且x1<m<x2. ∴af(m)=a2(m-x1)(m-x2)<0,即af(m)<0. 综上所述,二次函数f(x)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0. |
举一反三
“x<5”是“-2<x<4”的______条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种). |
“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的______条件. |
设函数f(x)=. (I)证明:0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件; (II)若x∈(-∞,0)时,满足f(x)<2a2-6恒成立,求实数a的取值范围. |
给出下列条件①1<a<b;②0<a<b<1;③0<a<1<b.其中,logb<loga<logab成立的充分条件是______ (填所有可能的条件的序号) |
如果不等式|x-a|<1成立的充分不必要条件是<x<,则实数a的取值范围是______. |
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