求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ca，这里a，b，c是△ABC的三条边．
题型：不详难度：来源：
| 求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ca，这里a，b，c是△ABC的三条边． |
答案
证明：（1）充分性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．
（2）必要性：如果△ABC是等边三角形，则a=b=c．
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca
综上可知：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ca． |
举一反三
设函数y=lg(-的定义域为A．
（1）求集合A．
（2）设p：x∈A，q：x＞a，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． |
| 已知p：|x-3|≤2，q：（x-m+1）（x-m-1）≤0，若￢p是￢q充分条件，求实数m的取值范围． |
| 已知集合A={x|x2+2x-3≤0}，B={x|（x-2a）（x-a2-1）≤0}，若m∈A是m∈B的充分不必要条件，求a的范围． |
| 若方程x2-mx+2m=0有两个大于2的根的充要条件是______． |
| 已知命题P：|2-x|≤5，Q：x2-2x+1-a2≥0（a＞0），若非P是Q的充分不必要条件，求a的取值范围． |
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