在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C所对的边，C=π3．若OD=aOE+bOF，且D、E、F三点共线（该直线不过点O），则△ABC周长的最小值是____

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C所对的边，C=

π

3

．若

OD

=a

OE

+b

OF

，且D、E、F三点共线（该直线不过点O），则△ABC周长的最小值是______．

答案

∵已知

OD

=a

OE

+b

OF

，且D、E、F三点共线，∴a+b=1．
∵△ABC中，角C=

π

3

∴c²=a²+b²-2abcos

π

3

=（a+b）²-3ab=1-3ab
∵ab≤（

a+b

2

）²=

1

4

，
∴1-3ab≥1-

3

4

=

1

4

，得c²≥

1

4

，
当且仅当a=b时，边c的最小值为

1

2

因此，△ABC周长a+b+c的最小值为1+

1

2

=

3

2

故答案为：

3

2