在△ABC中,a,b,c分别是内角A、B、C所对的边,C=π3.若OD=aOE+bOF,且D、E、F三点共线(该直线不过点O),则△ABC周长的最小值是____

在△ABC中,a,b,c分别是内角A、B、C所对的边,C=π3.若OD=aOE+bOF,且D、E、F三点共线(该直线不过点O),则△ABC周长的最小值是____

题型:不详难度:来源:
在△ABC中,a,b,c分别是内角A、B、C所对的边,C=
π
3
.若


OD
=a


OE
+b


OF
,且D、E、F三点共线(该直线不过点O),则△ABC周长的最小值是______.
答案
∵已知


OD
=a


OE
+b


OF
,且D、E、F三点共线,∴a+b=1.
∵△ABC中,角C=
π
3

∴c2=a2+b2-2abcos
π
3
=(a+b)2-3ab=1-3ab
∵ab≤(
a+b
2
2=
1
4

∴1-3ab≥1-
3
4
=
1
4
,得c2
1
4

当且仅当a=b时,边c的最小值为
1
2

因此,△ABC周长a+b+c的最小值为1+
1
2
=
3
2

故答案为:
3
2
举一反三
已知


a
=(1,2), 2


a
-


b
=(3,1)
,则


a


b
=(  )
A.2B.3C.4D.5
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已知


a
=(λ+1,0,2λ)


b
=(6,2μ-1,2)
,若


a


b
,则λ与μ的值分别为(  )
A.-5,-2B.5,2C.-
1
5
,-
1
2
D.
1
5
1
2
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a
=(1,-2),


a
-3


b
=(-5,4)
,则


b
=______.
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已知


a
=(1,0),


b
=(2,1)
,若向量k


a
-


b


a
+3


b
平行,则实数k=______.
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已知向量


a
=(x,1),


b
=(3,6),


a


b
,则实数x的值为(  )
A.
1
2
B.-2C.2D.-
1
2
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